(c) Encontre o centro e o raio da esfera
x^2+y^2+z^2-8 x+2 y+6 z+1=0

Passo 1

O enunciado pede para achar o centro e o raio da esfera dada pela equação geral
x^2+y^2+z^2-8x+2y+6z+1=0
O conteúdo aqui é reconhecer que a forma padrão de uma esfera é
(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2
e que podemos chegar nela completando quadrados nos termos em x, y e z.

Passo 2

Agrupamos os termos em cada variável, separando constantes:
x^2-8x ;+; y^2+2y ;+; z^2+6z ;+;1 ;=;0

Passo 3

Agora completamos o quadrado para cada grupo:
  1. Para x:
    x^2-8x = (x-4)^2 - 16
  2. Para y:
    y^2+2y = (y+1)^2 - 1
  3. Para z:
    z^2+6z = (z+3)^2 - 9

Passo 4

Substituímos essas expressões na equação original:
(x-4)^2-16 ;+;(y+1)^2-1 ;+;(z+3)^2-9 ;+;1 ;=;0
Juntando as constantes -16-1-9+1=-25, obtemos
(x-4)^2+(y+1)^2+(z+3)^2-25=0 Longrightarrow (x-4)^2+(y+1)^2+(z+3)^2=25

Passo 5

Na forma (x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2, identificamos
x0=4, y0=-1, z0=-3,
logo o centro é ,(4,-1,-3) e r^2=25, ou seja r=5.

Resposta

O centro da esfera é (4,-1,-3) e o raio é 5.

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