Prove que (u, v) é LI Long<=ftrightarrow(u+v, u-v) e LI. (A implicação Rightarrow foi provada no Exercício Resolvido no 3.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que dois pares de vetores são linearmente independentes (LI) entre si de forma equivalente. Ou seja, vai mostrar que (u, v) é LI se, e somente se, (u+v, u-v) também for LI. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como manipular combinações lineares deles. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores sejam linearmente independentes. Dois vetores a e b são LI se a única solução para a combinação linear c1a + c2b = 0 for c1 = 0 e c2 = 0. Isso evita que um vetor possa ser escrito como múltiplo do outro.

Passo 3

Vamos começar provando a direção que falta, ou seja, que se (u+v, u-v) é LI, então (u, v) também é LI. Suponha que (u+v, u-v) seja LI. Então, a única solução para:
c1(u + v) + c2(u - v) = 0
é c1 = 0 e c2 = 0.

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
c1u + c1v + c2u - c2v = 0
Agrupando os termos com u e v:
(c1 + c2)u + (c1 - c2)v = 0

Passo 5

Como (u, v) são vetores qualquer, e não sabemos se são LI ou não, vamos supor que eles sejam LI. Mas já que suponhamos que (u+v, u-v) são LI, isso implica que os coeficientes das combinações lineares devem ser zero:
c1 + c2 = 0 c1 - c2 = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema acima:
  1. c1 + c2 = 0
  2. c1 - c2 = 0
Somando as duas equações:
2c1 = 0 Rightarrow c1 = 0
Substituindo c1 = 0 na primeira equação:
0 + c2 = 0 Rightarrow c2 = 0

Passo 7

Então, a única solução para a combinação linear é c1 = 0 e c2 = 0, o que significa que (u+v, u-v) ser LI implica que (u, v) também é LI. Como já sabemos que a outra direção foi provada anteriormente, concluímos que ambos os pares de vetores são LI entre si.

Resposta

Portanto, provamos que (u, v) é linearmente independente se e somente se (u+v, u-v) também for linearmente independente.

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