Prove que
é LI
e LI. (A implicação
foi provada no Exercício Resolvido no 3.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que dois pares de vetores são linearmente independentes (LI) entre si de forma equivalente. Ou seja, vai mostrar que
é LI se, e somente se,
também for LI. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e como manipular combinações lineares deles. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores sejam linearmente independentes. Dois vetores
e
são LI se a única solução para a combinação linear
for
e
. Isso evita que um vetor possa ser escrito como múltiplo do outro.
Passo 3
Vamos começar provando a direção que falta, ou seja, que se
é LI, então
também é LI. Suponha que
seja LI. Então, a única solução para:
é
e
.
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com
e
:
Passo 5
Como
são vetores qualquer, e não sabemos se são LI ou não, vamos supor que eles sejam LI. Mas já que suponhamos que
são LI, isso implica que os coeficientes das combinações lineares devem ser zero:
Passo 6
Resolvendo o sistema acima:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Então, a única solução para a combinação linear é
e
, o que significa que
ser LI implica que
também é LI. Como já sabemos que a outra direção foi provada anteriormente, concluímos que ambos os pares de vetores são LI entre si.
Resposta
Portanto, provamos que
é linearmente independente se e somente se
também for linearmente independente.