TODOS OS ITENS DA QUESTÃO 1 DEVEM SER RESOLVIDOS POR ESCALONAMENTO
Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três equações e duas incógnitas. O objetivo é classificar o sistema (ver se tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma) e resolver ele usando o método de escalonamento. Para isso, vamos usar operações básicas de linhas para simplificar o sistema até encontrar os valores das incógnitas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial, incluindo os termos constantes. Isso é chamado de matriz aumentada. Nosso sistema é:
2x - y = -7 -3x + 4y = 13 x + 2y = -1
A matriz aumentada fica assim:
2 & -1 & | & -7 -3 & 4 & | & 13 1 & 2 & | & -1
Passo 3
Vamos começar o escalonamento. O objetivo aqui é transformar a matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal (os coeficientes de x e y) os elementos sejam zeros.
Primeiro, vamos usar a primeira linha (2x - y = -7) para eliminar o termo de x das outras linhas.
Para a segunda linha (-3x + 4y = 13):
Multiplicamos a primeira linha por 32 para que o coeficiente de x seja 3.
32 times 2x - 32 times y = 32 times (-7)
3x - 32y = -212
Agora, somamos essa equação à segunda linha:
(-3x + 4y) + (3x - 32y) = 13 + (-212)
0x + 52y = 52
Simplificando:
5y = 5 implies y = 1
Para a terceira linha (x + 2y = -1):
Multiplicamos a primeira linha por -12:
-12 times 2x + 12 times y = -12 times (-7)
-x + 12y = 72
Agora, somamos essa equação à terceira linha:
(x + 2y) + (-x + 12y) = -1 + 72
0x + 52y = 52
Simplificando:
5y = 5 implies y = 1
Passo 4
Encontramos que y = 1. Agora, vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar x. Vamos usar a terceira equação (x + 2y = -1):