Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa.
Passo 1
O enunciado dá a superfície quádricas definida pela equação
O conteúdo é redução de superfícies quádricas à forma canônica: aqui não há translação nem rotação necessárias, apenas fatoração e comparação com a forma padrão de um hiperboloide.
Passo 2
Dividimos ambos os lados por
para obter o lado direito igual a
:
que simplifica para
Passo 3
Reescrevendo em forma canônica identificamos
Há um único termo positivo
e dois termos negativos
e
. Isso caracteriza um hiperboloide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, analisamos seções e existência de pontos:
Para fixo temos
Para
Só há pontos reais quando
, gerando elipses em cada plano
para
. Para
não há solução, então a superfície é composta de duas “folhas” separadas:
- Uma folha para
com elipses que crescem em e à medida que aumenta. - Outra folha simétrica para
.
Em planos como
ou
aparecem hipérboles do tipo
mostrando que cada folha “abre” no sentido positivo e negativo de
.
Resposta
Forma canônica:
Tipo de superfície: hiperboloide de duas folhas com eixo principal no eixo
.