Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa.
36 x^2-9 y^2-4 z^2=36

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricas definida pela equação
36x^2-9y^2-4z^2=36
O conteúdo é redução de superfícies quádricas à forma canônica: aqui não há translação nem rotação necessárias, apenas fatoração e comparação com a forma padrão de um hiperboloide.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por 36 para obter o lado direito igual a 1:
36x^236-9y^236-4z^236=1
que simplifica para
x^2-y^24-z^29=1

Passo 3

Reescrevendo em forma canônica identificamos
x^21-y^22^2-z^23^2=1
Há um único termo positivo tfracx^21 e dois termos negativos -tfracy^22^2 e -tfracz^23^2. Isso caracteriza um hiperboloide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo x.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, analisamos seções e existência de pontos:
Para x=c fixo temos
-y^24-z^29=1-c^2 Longrightarrow y^24+z^29=c^2-1
Só há pontos reais quando c^2>1, gerando elipses em cada plano x=c para |c|>1. Para |c|<1 não há solução, então a superfície é composta de duas “folhas” separadas:
  • Uma folha para x>=1 com elipses que crescem em y e z à medida que x aumenta.
  • Outra folha simétrica para x<=-1.
Em planos como y=0 ou z=0 aparecem hipérboles do tipo
x^2-z^29=1 ou x^2-y^24=1,
mostrando que cada folha “abre” no sentido positivo e negativo de x.

Resposta

Forma canônica:
x^21-y^24-z^29=1
Tipo de superfície: hiperboloide de duas folhas com eixo principal no eixo x.

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