(c) Esboce o gráfico de uma função que tenha um máximo local em 2 e não seja contínua em 2.
Passo 1
O enunciado pede um esboço de função que apresenta um máximo local em mas não é contínua em . Vamos usar a definição de máximo local e de continuidade para guiar a construção de um exemplo concreto.
Passo 2
Definições envolvidas:
– Dizemos que tem um máximo local em se existe tal que, para todo com , vale
– A função é contínua em se
Queremos garantir o primeiro ponto e violar o segundo.
Passo 3
Construímos o seguinte exemplo por partes:
Para xneq2, f(x) é uma parábola voltada para baixo com vértice em (2,1). No ponto x=2, definimos f(2)=2, criando um “salto” para cima.
Passo 4
Verificação de máximo local em x=2: para x próximo de 2 mas distinto de 2 temos
f(x)=1 - (x-2)^2 <= 1<2 = f(2)
Logo, existe vizinhança de 2 onde todo valor f(x) é menor ou igual a f(2), então x=2 é máximo local.
Passo 5
Verificação de descontinuidade em x=2: o limite lateral da parábola vale
limxto2f(x)=limxto2l(1-(x-2)^2r)=1,
porém f(2)=2. Como 1neq2, a função não é contínua em x=2.
Resposta
Esboço do gráfico:
– Para xneq2, desenhe a parábola invertida y=1-(x-2)^2 com um círculo aberto no ponto (2,1).
– Em x=2, marque um ponto sólido em (2,2).