Tem-se um terreno retangular de 4328 m^2 de área. Pretende-se murá-lo e sabe-se que o vizinho de um dos lados paga a metade do muro que faz limite com sua propriedade. Para tanto, quais devem ser as dimensões deste terreno para que se gaste o mínimo possível ao murá-lo?

Passo 1

O enunciado fala de um terreno retangular de área 4328 m^2 que será cercado. Num dos lados há vizinho que paga metade do muro correspondente. Queremos escolher as dimensões para minimizar o custo total que pagamos. O conteúdo é otimização de uma função de duas variáveis com restrição de área, que faremos via substituição e derivada.

Passo 2

Definimos as dimensões do terreno por x e y, de modo que
x,y = 4328
Suponha que o lado de comprimento x seja o que faz limite com o vizinho. Então pagamos integralmente os dois lados de comprimento y e o lado oposto de comprimento x, e apenas metade do lado junto ao vizinho. Assim o comprimento total efetivo a pagar é
L = 2y + x + tfrac12,x = 2y + tfrac32,x

Passo 3

Usando a restrição de área para eliminar y, temos
y = 4328x,
logo o custo (proporcional ao comprimento) torna-se função de uma única variável:
f(x) = 2!(4328x) + tfrac32,x

Passo 4

Para achar o mínimo de f(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
f'(x) = -2cdot4328x^2 + tfrac32 = 0
Isto dá
tfrac32 = 8656x^2 Longrightarrow x^2 = 86561,5 = 8656cdot23 = 173123 Longrightarrow x = raiz173123approx 75,95

Passo 5

Encontramos então
y = 4328x approx 432875,95approx 56,96
Para garantir que é mínimo, basta ver que
f''(x) = 2cdot2cdot4328x^3 > 0
para x>0, confirmando mínimo.

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são aproximadamente
boxedx approx 75,95 m, y approx 56,96 m

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