Tem-se um terreno retangular de
de área. Pretende-se murá-lo e sabe-se que o vizinho de um dos lados paga a metade do muro que faz limite com sua propriedade. Para tanto, quais devem ser as dimensões deste terreno para que se gaste o mínimo possível ao murá-lo?
Passo 1
O enunciado fala de um terreno retangular de área
que será cercado. Num dos lados há vizinho que paga metade do muro correspondente. Queremos escolher as dimensões para minimizar o custo total que pagamos. O conteúdo é otimização de uma função de duas variáveis com restrição de área, que faremos via substituição e derivada.
Passo 2
Definimos as dimensões do terreno por
e
, de modo que
Suponha que o lado de comprimento
seja o que faz limite com o vizinho. Então pagamos integralmente os dois lados de comprimento
e o lado oposto de comprimento
, e apenas metade do lado junto ao vizinho. Assim o comprimento total efetivo a pagar é
Passo 3
Usando a restrição de área para eliminar
, temos
logo o custo (proporcional ao comprimento) torna-se função de uma única variável:
Passo 4
Para achar o mínimo de
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Isto dá
Passo 5
Encontramos então
Para garantir que é mínimo, basta ver que
para
, confirmando mínimo.
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são aproximadamente