Considere a matriz
A=[ccc 0 & 7 & -6 -1 & 4 & 0 0 & 2 & -2 ]
(e) Calcule A^4.
Para o item (e), lembre-se que
(Q^-1 B Q)^k=Q^-1 B^k Q
para todo k >= 1.
Recorde que, por definição, uma matriz A in Mn times n(R) é diagonalizável se existe uma matriz inversível P (ou seja, uma matriz com determinante diferente de zero) tal que P^-1 A P é uma matriz diagonal.

Passo 1

O enunciado pede para calcular A^4 de
A= 0 & 7 & -6 -1&4&0 0&2&-2
usando que, se A é diagonalizável com A = P D P^-1, então
A^k = P D^k P^-1
Aqui o conteúdo é diagonalização de matrizes e potência de matriz diagonal.

Passo 2

Calcular os autovalores de A. O polinômio característico é
det(A - lambda I) = lambda^3 -2lambda^2 -lambda +2 = (lambda-1)(lambda-2)(lambda+1)
Logo os autovalores são
lambda1=1, lambda2=2, lambda3=-1

Passo 3

Encontrar uma base de autovetores:
Para
portanto . Tomando obtemos
Para , resolvemos , que leva a
Tomando
Para , resolvemos , que leva a
Tomando

Passo 4

Montar P, D e calcular P^-1.
P = l[v1;v2;v3r] = 9&4&53&2&12&1&2, D = 1&0&00&2&00&0&-1
O determinante de P é 6 e, por cálculo de adjunta,
P^-1 = 16 3 & -3 & -6 -4&8&6 -1&-1&6

Passo 5

Elevar D à quarta potência:
D^4 = 1^4&0&00&2^4&00&0&(-1)^4 = 1&0&00&16&00&0&1

Passo 6

Aplicar A^4 = P,D^4,P^-1. Primeiro calcule
M = P,D^4 = 9&4&53&2&12&1&2 1&0&00&16&00&0&1 = 9&64&53&32&12&16&2
Então
A^4 = M,P^-1 = 16 9&64&53&32&12&16&2 3 & -3 & -6 -4&8&6 -1&-1&6
O produto interno dá
-234 & 480 & 360 -120 & 246 & 180 -60 & 120 & 96 ,
e dividindo por 6 resulta em

Resposta

A^4 = -39 & 80 & 60 -20 & 41 & 30 -10 & 20 & 16

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