In each of Problems 15 through 20, using integration by parts, find the Laplace transform of the given function;
is a positive integer and
is a real constant.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a transformada de Laplace da função
, isto é avaliar
Informações dadas / condições:
é constante real; a variável de Laplace é
. Para convergência da integral usaremos a condição
(porque
cresce como
, então precisamos que
decaia mais rápido).
Passo 2
Lembrete (fórmula que vou usar): integração por partes para integrais definidas diz
onde
e
são funções de
e
é a diferencial que integro para obter
.
Escolha conveniente para este problema: tomo
Assim
e preciso encontrar
, um primitivo de
.
Passo 3
Calcular
. Uso a definição
e integro termo a termo:
As primitivas são
. Logo, sem constante,
(Para
os denominadores
são não nulos e os exponenciais decaem quando
.)
Passo 4
Aplicando integração por partes na integral definida:
Avalio o termo de fronteira. Como
é combinação de exponenciais
, e
quando
para
, segue que, para
,
Portanto o termo de fronteira é zero e obtemos
Passo 5
Substituo
e calculo a integral:
Cada integral exponencial vale
para
. Assim,
Passo 6
Simplifico a expressão para uma forma única. Soma das frações:
Calculo o numerador:
Portanto, a metade cancela o
e fica
Passo 7
Observação rápida (checagem): usando a propriedade
com
também leva a
o que confirma o resultado obtido por integração por partes.