In each of Problems 15 through 20, using integration by parts, find the Laplace transform of the given function; n is a positive integer and a is a real constant.
t \operatorname{cosh} a t

Passo 1

O que o problema pede: calcular a transformada de Laplace da função \,t\operatorname{cosh}(at)\,, isto é avaliar
\mathcal{L}\{t\operatorname{cosh}(at)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\operatorname{cosh}(at)\,dt.
Informações dadas / condições: a é constante real; a variável de Laplace é s. Para convergência da integral usaremos a condição s>|a| (porque \operatorname{cosh}(at) cresce como e^{|a|t}, então precisamos que e^{-st} decaia mais rápido).

Passo 2

Lembrete (fórmula que vou usar): integração por partes para integrais definidas diz
\int_{0}^{\infty} u\,dv = \bigl[u\,v\bigr]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du,
onde u e v são funções de t e dv é a diferencial que integro para obter v.
Escolha conveniente para este problema: tomo
u = t,\qquad dv = e^{-st}\operatorname{cosh}(at)\,dt.
Assim
du = dt,
e preciso encontrar v, um primitivo de dv.

Passo 3

Calcular v(t)=\int e^{-st}\operatorname{cosh}(at)\,dt. Uso a definição \operatorname{cosh}(at)=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{at}+e^{-at}\bigr) e integro termo a termo:
\int e^{-st}\operatorname{cosh}(at)\,dt = \tfrac{1}{2}\int e^{-(s-a)t}\,dt + \tfrac{1}{2}\int e^{-(s+a)t}\,dt.
As primitivas são \int e^{-\alpha t}\,dt = -\dfrac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}. Logo, sem constante,
v(t) = -\tfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{e^{-(s-a)t}}{s-a}+\dfrac{e^{-(s+a)t}}{s+a}\right).
(Para s>|a| os denominadores s\pm a são não nulos e os exponenciais decaem quando t\to\infty.)

Passo 4

Aplicando integração por partes na integral definida:
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\operatorname{cosh}(at)\,dt = \bigl[t\,v(t)\bigr]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v(t)\,dt.
Avalio o termo de fronteira. Como v(t) é combinação de exponenciais e^{-(s\pm a)t}, e t e^{-\beta t}\to 0 quando t\to\infty para \beta>0, segue que, para s>|a|,
\lim_{t\to\infty} t\,v(t)=0, \qquad t=0\Rightarrow t\,v(0)=0.
Portanto o termo de fronteira é zero e obtemos
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\operatorname{cosh}(at)\,dt = -\int_{0}^{\infty} v(t)\,dt.

Passo 5

Substituo v(t) e calculo a integral:
-\int_{0}^{\infty} v(t)\,dt = -\int_{0}^{\infty}\Bigl[-\tfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{e^{-(s-a)t}}{s-a}+\dfrac{e^{-(s+a)t}}{s+a}\right)\Bigr]dt
= \tfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{s-a}\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t}dt + \dfrac{1}{s+a}\int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t}dt\right).
Cada integral exponencial vale \int_{0}^{\infty} e^{-\beta t}dt = \dfrac{1}{\beta} para \beta>0. Assim,
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\operatorname{cosh}(at)\,dt = \tfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{1}{(s-a)^2}+\dfrac{1}{(s+a)^2}\right).

Passo 6

Simplifico a expressão para uma forma única. Soma das frações:
\tfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{1}{(s-a)^2}+\dfrac{1}{(s+a)^2}\right) = \tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(s+a)^2+(s-a)^2}{(s^2-a^2)^2}.
Calculo o numerador:
(s+a)^2+(s-a)^2 = 2s^2+2a^2 = 2(s^2+a^2).
Portanto, a metade cancela o 2 e fica
\int_{0}^{\infty} t e^{-st}\operatorname{cosh}(at)\,dt = \dfrac{s^2+a^2}{(s^2-a^2)^2}, \qquad s>|a|.

Passo 7

Observação rápida (checagem): usando a propriedade \mathcal{L}\{t f(t)\}=-\dfrac{d}{ds}\mathcal{L}\{f(t)\} com \mathcal{L}\{\operatorname{cosh}(at)\}=\dfrac{s}{s^2-a^2} também leva a
-\frac{d}{ds}\!\left(\dfrac{s}{s^2-a^2}\right)=\dfrac{s^2+a^2}{(s^2-a^2)^2},
o que confirma o resultado obtido por integração por partes.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t\operatorname{cosh}(at)\}(s)=\dfrac{s^2+a^2}{(s^2-a^2)^2},\quad s>|a|

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