- (c) Explique o funcionamento do método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para explicar o método dos coeficientes indeterminados, que é um procedimento para achar soluções particulares de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e segunda membro (termo não homogêneo) de forma “simples” (polinômio, exponencial, seno, cosseno ou produto desses). Vamos revisar cada etapa desse método para resolver
onde
é um operador diferencial linear com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro a gente resolve a equação homogênea
encontrando a solução geral
via equação característica. Isso nos dá as raízes
e, consequentemente,
mas ainda falta incorporar o termo não homogêneo
.
Passo 3
Para o termo não homogêneo
, fazemos um “chute” (ansatz) de solução particular
cujo formato espelha a forma de
:
– Se é um polinômio de grau
, chutamos
– Se
– Se
, chutamos
.
– Se ou
, chutamos
– Se
– Para produtos ou somas desses casos, combinamos os chutes.
Passo 4
Se o “chute”
coincidir com parte de
(resonância), multiplicamos por
, onde
é o menor inteiro tal que
não esteja contido em
. Por exemplo, se
for solução da homogênea, usamos
ou, em caso de raiz dupla,
.
Passo 5
Com o formato de
definido, substituímos
em
e calculamos as derivadas necessárias. Em seguida, agrupamos termos semelhantes em potências de
, exponenciais e/ou funções trigonométricas e igualamos os coeficientes correspondentes para determinar os valores de
.
Passo 6
Por fim, a solução geral da equação não homogênea é
onde
vem da homogênea e
é o chute com coeficientes já determinados.
Resposta
O método dos coeficientes indeterminados consiste em “chutar” uma solução particular
cujo formato imita o termo não homogêneo
, ajustar esse chute (multiplicando por potências de
em caso de ressonância com a homogênea), substituir em
e determinar os coeficientes igualando termos semelhantes. A solução geral é então
.