1. (c) Explique o funcionamento do método dos coeficientes indeterminados.

Passo 1

O enunciado pede para explicar o método dos coeficientes indeterminados, que é um procedimento para achar soluções particulares de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e segunda membro (termo não homogêneo) de forma “simples” (polinômio, exponencial, seno, cosseno ou produto desses). Vamos revisar cada etapa desse método para resolver
L[y]=g(x)
onde L é um operador diferencial linear com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro a gente resolve a equação homogênea
L[yh]=0
encontrando a solução geral yh via equação característica. Isso nos dá as raízes lambdai e, consequentemente,
yh = C1e^lambda1 x + C2e^lambda2 x + dots
mas ainda falta incorporar o termo não homogêneo g(x).

Passo 3

Para o termo não homogêneo g(x), fazemos um “chute” (ansatz) de solução particular yp cujo formato espelha a forma de g(x):
– Se g(x) é um polinômio de grau n, chutamos
yp = Anx^n + An-1x^n-1 + cdots + A0
– Se g(x)=e^alpha x, chutamos yp = A e^alpha x.
– Se g(x)=sin(beta x) ou cos(beta x), chutamos
yp = Acos(beta x) + Bsin(beta x)
– Para produtos ou somas desses casos, combinamos os chutes.

Passo 4

Se o “chute” yp coincidir com parte de yh (resonância), multiplicamos por x^s, onde s é o menor inteiro tal que x^s yp não esteja contido em yh. Por exemplo, se e^alpha x for solução da homogênea, usamos
yp = Ax e^alpha x
ou, em caso de raiz dupla, Ax^2e^alpha x.

Passo 5

Com o formato de yp definido, substituímos yp em
L[yp]=g(x)
e calculamos as derivadas necessárias. Em seguida, agrupamos termos semelhantes em potências de x, exponenciais e/ou funções trigonométricas e igualamos os coeficientes correspondentes para determinar os valores de A,B,dots.

Passo 6

Por fim, a solução geral da equação não homogênea é
y(x) = yh(x) + yp(x),
onde yh vem da homogênea e yp é o chute com coeficientes já determinados.

Resposta

O método dos coeficientes indeterminados consiste em “chutar” uma solução particular yp cujo formato imita o termo não homogêneo g(x), ajustar esse chute (multiplicando por potências de x em caso de ressonância com a homogênea), substituir em L[yp]=g(x) e determinar os coeficientes igualando termos semelhantes. A solução geral é então y=yh+yp.

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