Se c in C e f^prime(z) existe para todo z in Omega, expresse a derivada com respeito a z da função g(z)=c^f(z) em termos de derivadas da função potência e da função f.

Passo 1

O problema pede para derivar a função composta g(z)=c^f(z), onde cinC é constante e f:OmegatoC é holomorfa (ou seja, f'(z) existe para todo zinOmega). Vamos usar a regra da cadeia e a derivada da função potência.

Passo 2

Definimos a função auxiliar h(w)=c^w. Então g(z)=h(f(z)) e, pela regra da cadeia,
g'(z)=h'(f(z))cdot f'(z)

Passo 3

Falta apenas achar h'(w). Sabemos que, ao definir c^w=exp(wln c) (escolhendo um ramo de ln c), temos
h'(w)=ddwc^w=c^wln(c)

Passo 4

Substituindo em g'(z)=h'(f(z)),f'(z), obtemos a expressão da derivada de g.

Resposta

g'(z)=c^f(z),ln(c),f'(z)

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