Mostre que, utilizando o ramo principal do logaritmo, (1+i)^i=e^-pi4+i log raiz2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando o ramo principal do logaritmo complexo, temos
(1+i){i}=e{-\frac{\pi}{4}+i\log\sqrt{2}}. O conteúdo aqui é exponenciação de número complexo e logaritmo complexo no ramo principal. Vamos usar a definição z{w}=e{w,Log(z)}, onde Log é o logaritmo principal.

Passo 2

No ramo principal, para um número complexo z\neq0, definimos
Log(z)=ln|z|+i,Arg(z),
sendo Arg(z)\in(-\pi,\pi]. Então
(1+i)^i=e^i,Log(1+i)

Passo 3

Precisamos achar o módulo e o argumento de 1+i. Calculamos
|1+i|=raiz1^2+1^2=raiz2,
e
Arg(1+i)=pi4
pelo ramo principal.

Passo 4

Substituindo em Log(1+i) temos
Log(1+i)=ln|1+i|+i,Arg(1+i)=lnraiz2+ipi4
Então
i,Log(1+i)=il(lnraiz2+ipi4r)=ilnraiz2-pi4

Passo 5

Finalmente,
(1+i)^i=e^i,Log(1+i)=e^-pi4+ilnraiz2=e^-pi4+ilograiz2

Passo 6

Mostramos assim que (1+i){i}=e{-\frac{\pi}{4}+i\log\sqrt{2}}.

Resposta

(1+i){i}=e{-\frac{\pi}{4}+i\log\sqrt{2}}

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