Mostre que, utilizando o ramo principal do logaritmo,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, usando o ramo principal do logaritmo complexo, temos
(1+i){i}=e{-\frac{\pi}{4}+i\log\sqrt{2}}. O conteúdo aqui é exponenciação de número complexo e logaritmo complexo no ramo principal. Vamos usar a definição z{w}=e{w,Log(z)}, onde Log é o logaritmo principal.
(1+i){i}=e{-\frac{\pi}{4}+i\log\sqrt{2}}. O conteúdo aqui é exponenciação de número complexo e logaritmo complexo no ramo principal. Vamos usar a definição z{w}=e{w,Log(z)}, onde Log é o logaritmo principal.
Passo 2
No ramo principal, para um número complexo z\neq0, definimos
sendo Arg(z)\in(-\pi,\pi]. Então
Passo 3
Precisamos achar o módulo e o argumento de 1+i. Calculamos
e
pelo ramo principal.
Passo 4
Substituindo em Log(1+i) temos
Então
Passo 5
Finalmente,
Passo 6
Mostramos assim que (1+i){i}=e{-\frac{\pi}{4}+i\log\sqrt{2}}.
Resposta
(1+i){i}=e{-\frac{\pi}{4}+i\log\sqrt{2}}