Seja a>0 e I(a)=integral-a^a e^-u^2 d u.
(a) Mostre que D=[-a, a] times[-a, a] onde B1.
(b) Se B2 e D são as bolas fechadas inscrita e circunscrita a integral duplaB1 e^-(x^2+y^2) d x d y <= I^2(a) <= integral duplaB2 e^-(x^2+y^2) d x d y , respectivamente, mostre que
B1
© Calcule as integrais sobre B2 e lim a +infty I(a)=raizpi usando coordenadas polares e use o item anterior para mostrar que integral-infty^+infty e^-u^2 d u=raizpi , isso mostra que

Passo 1

O enunciado define a função de uma variável real I(a)=integral-a^ae^-u^2,du com a>0 e pede:(a) mostrar que I^2(a)=integral duplaDe^-(x^2+y^2),dx,dy em que D=[-a,a]times[-a,a]; (b) comparar essa integral dupla com as integrais sobre os discos inscrito B1 e circunscrito B2; © usar coordenadas polares para calcular as integrais sobre B1 e B2 e, aplicando o teorema do sanduíche, concluir que limato+inftyI(a)=raizpi, o que implica integral-infty^+inftye^-u^2,du=raizpi. Vamos precisar do teorema de Fubini, do fato de que integrais de função positiva preservam inclusões de conjuntos e de mudança para coordenadas polares.

Passo 2

Para mostrar que I^2(a)=integral duplaDe^-(x^2+y^2),dx,dy, note que
e aplicando o teorema de Fubini, temos
I^2(a)=l(integral-a^ae^-x^2,dxr)l(integral-a^ae^-y^2,dyr)=integral dupla[-a,a]times[-a,a]e^-(x^2+y^2),dx,dy

Passo 3

Como e^-(x^2+y^2) é positiva e sabendo que o disco inscrito B1=(x,y):x^2+y^2<= a^2 satisfaz B1subset Dsubset B2 (onde B2 é o disco de raio araiz2), a propriedade de monotonicidade da integral dupla dá
integral duplaB1e^-(x^2+y^2),dx,dy <= integral duplaDe^-(x^2+y^2),dx,dy <= integral duplaB2e^-(x^2+y^2),dx,dy,
o que é exatamente a desigualdade pedida em (b).

Passo 4

Para calcular as integrais sobre os discos em coordenadas polares, usamos x=rcostheta, y=rsintheta e dx,dy=r,dr,dtheta. Então, para um disco de raio R:
integral duplax^2+y^2<= R^2e^-(x^2+y^2),dx,dy=integral0^2piintegral0^Re^-r^2,r,dr,dtheta=2piintegral0^Rr e^-r^2,dr

Passo 5

Fazendo a substituição t=r^2, dt=2r,dr, obtemos
2piintegral0^Rr e^-r^2,dr=2picdot12integral0^R^2e^-t,dt=pil(1-e^-R^2r)

Passo 6

Aplicando com R=a para B1 e R=araiz2 para B2, vem
integral duplaB1e^-(x^2+y^2),dx,dy=pil(1-e^-a^2r),integral duplaB2e^-(x^2+y^2),dx,dy=pil(1-e^-2a^2r)

Passo 7

Substituindo na desigualdade do item (b) e fazendo atoinfty, os expoentes tendem a zero, logo tanto o limite inferior quanto o superior vão a pi. Pelo teorema do sanduíche, I^2(a)topi e, como I(a)>0, temos I(a)toraizpi.

Resposta

integral-infty^+inftye^-u^2,du=raizpi.

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