Seja
e
.
(a) Mostre que
onde
.
(b) Se
e
são as bolas fechadas inscrita e circunscrita a
, respectivamente, mostre que
© Calcule as integrais sobre
e
usando coordenadas polares e use o item anterior para mostrar que
, isso mostra que
(a) Mostre que
(b) Se
Passo 1
O enunciado define a função de uma variável real
com
e pede:(a) mostrar que
em que
; (b) comparar essa integral dupla com as integrais sobre os discos inscrito
e circunscrito
; © usar coordenadas polares para calcular as integrais sobre
e
e, aplicando o teorema do sanduíche, concluir que
, o que implica
. Vamos precisar do teorema de Fubini, do fato de que integrais de função positiva preservam inclusões de conjuntos e de mudança para coordenadas polares.
Passo 2
Para mostrar que
, note que
e aplicando o teorema de Fubini, temos
e aplicando o teorema de Fubini, temos
Passo 3
Como
é positiva e sabendo que o disco inscrito
satisfaz
(onde
é o disco de raio
), a propriedade de monotonicidade da integral dupla dá
o que é exatamente a desigualdade pedida em (b).
Passo 4
Para calcular as integrais sobre os discos em coordenadas polares, usamos
,
e
. Então, para um disco de raio
:
Passo 5
Fazendo a substituição
,
, obtemos
Passo 6
Aplicando com
para
e
para
, vem
Passo 7
Substituindo na desigualdade do item (b) e fazendo
, os expoentes tendem a zero, logo tanto o limite inferior quanto o superior vão a
. Pelo teorema do sanduíche,
e, como
, temos
.