Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar que cos barz não é holomorfa em nenhuma parte de C. O que podemos dizer sobre sen barz ?

Passo 1

O enunciado pede para usar as equações de Cauchy-Riemann para mostrar que cosbar z não é holomorfa em nenhuma parte de C e, em seguida, perguntar o que acontece com sinbar z. O conteúdo envolve funções de variável complexa e as equações de Cauchy-Riemann para verificar holomorfia.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy e sua conjugada bar z=x-iy. Então
cosbar z = cos(x-iy) = cos xcosh y + i,sin xsinh y
Desse modo, identificamos as partes real e imaginária:
u(x,y)=cos xcosh y, v(x,y)=sin xsinh y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
ux = -sin xcosh y, uy = cos xsinh y,
vx = cos xsinh y, vy = sin xcosh y

Passo 4

As equações de Cauchy-Riemann exigem
ux = vy e uy = -vx

Passo 5

Substituindo, obtemos
-sin xcosh y = sin xcosh y implies sin xcosh y = 0,
cos xsinh y = -cos xsinh y implies cos xsinh y = 0

Passo 6

Como cosh y>0 para todo y e sinh y=0 só em y=0, as condições passam a ser
sin x = 0 implies x=kpi, y=0

Passo 7

Portanto as equações só se satisfazem em pontos isolados z=kpi, e não em nenhuma região aberta. Concluímos que cosbar z não é holomorfa em nenhuma parte de C.

Passo 8

Para sinbar z=sin(x-iy)=sin xcosh y - icos xsinh y repetimos o mesmo procedimento. Identificamos
u(x,y)=sin xcosh y, v(x,y)=-cos xsinh y,
e calculamos as derivadas, chegando às mesmas condições que só se satisfazem em pontos isolados. Assim, sinbar z também não é holomorfa em nenhuma parte de C.

Resposta

Nem cosbar z nem sinbar z são holomorfas em qualquer região aberta de C.

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