Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar que
não é holomorfa em nenhuma parte de
. O que podemos dizer sobre sen
?
Passo 1
O enunciado pede para usar as equações de Cauchy-Riemann para mostrar que
não é holomorfa em nenhuma parte de
e, em seguida, perguntar o que acontece com
. O conteúdo envolve funções de variável complexa e as equações de Cauchy-Riemann para verificar holomorfia.
Passo 2
Escrevemos
e sua conjugada
. Então
Desse modo, identificamos as partes real e imaginária:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
As equações de Cauchy-Riemann exigem
Passo 5
Substituindo, obtemos
Passo 6
Como
para todo
e
só em
, as condições passam a ser
Passo 7
Portanto as equações só se satisfazem em pontos isolados
, e não em nenhuma região aberta. Concluímos que
não é holomorfa em nenhuma parte de
.
Passo 8
Para
repetimos o mesmo procedimento. Identificamos
e calculamos as derivadas, chegando às mesmas condições que só se satisfazem em pontos isolados. Assim,
Resposta
Nem
nem
são holomorfas em qualquer região aberta de
.