Encontre a derivada da função dada usando a definição e estabeleça os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos encontrar a derivada de f(x)=12+7x usando a definição de derivada (primeiro princípio) e determinar o domínio de f e de f’.
Passo 2
Domínio de f: como f(x)=12+7x é uma função polinomial, ela está definida para todo x ∈ ℝ, ou seja, Dom(f)=ℝ.
Passo 3
Definição de derivada: a derivada de f em um ponto x é dada por
Passo 4
Cálculo de f(x+h) e da diferença: temos
Logo,
Passo 5
Quociente de diferença e limite: substituindo na definição,
Tomando o limite h→0, obtemos f’(x)=7.
Passo 6
Domínio de f’: como f’(x)=7 é constante, também está definida para todo x ∈ ℝ, ou seja, Dom(f’)=ℝ.
Resposta
f’(x)=7, Dom(f)=ℝ e Dom(f’)=ℝ