Encontre a derivada da função dada usando a definição e estabeleça os domínios da função e da derivada.
f(x)=12+7 x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos encontrar a derivada de f(x)=12+7x usando a definição de derivada (primeiro princípio) e determinar o domínio de f e de f’.

Passo 2

Domínio de f: como f(x)=12+7x é uma função polinomial, ela está definida para todo x ∈ ℝ, ou seja, Dom(f)=ℝ.

Passo 3

Definição de derivada: a derivada de f em um ponto x é dada por
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 4

Cálculo de f(x+h) e da diferença: temos
f(x+h)=12+7(x+h)=12+7x+7h
Logo,
f(x+h)-f(x)=(12+7x+7h)-(12+7x)=7h

Passo 5

Quociente de diferença e limite: substituindo na definição,
f(x+h)-f(x)h=7hh=7
Tomando o limite h→0, obtemos f’(x)=7.

Passo 6

Domínio de f’: como f’(x)=7 é constante, também está definida para todo x ∈ ℝ, ou seja, Dom(f’)=ℝ.

Resposta

f’(x)=7, Dom(f)=ℝ e Dom(f’)=ℝ

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