© integral0^1 raizx raiz1-x d x Dica: Tente começar com a substituição u=raizx

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral . Esse problema está relacionado a integrais envolvendo funções radicais. Para resolver, vamos usar uma técnica chamada substituição, começando com , como sugerido na dica. Vamos precisar transformar a integral original em termos de para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição indicada: . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de .

Passo 3

Derivando dxdu = 2u Rightarrow dx = 2u , du em relação a , temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir integral0^1 raizx raiz1-x , dx = integralu=0^u=1 u raiz1 - u^2 cdot 2u , du e = 2 integral0^1 u^2 raiz1 - u^2 , du na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Para resolver essa nova integral, vamos usar outra substituição. Vamos deixar dv = -2u , du Rightarrow -dv2 = u , du , então:
No entanto, observando a integral, temos , o que sugere uma abordagem diferente. Vamos usar uma fórmula de integração que envolve funções da forma .

Passo 6

Sabemos que:
integral u^2 raiz1 - u^2 , du = integral u^2 (1 - u^2)^1/2 , du
Podemos usar a fórmula de integração por partes ou reconhecer que essa integral está relacionada a funções beta ou gamma, mas para simplificar, vamos usar uma substituição trigonométrica.

Passo 7

Vamos fazer 2 integral0^pi/2 sin^2theta raiz1 - sin^2theta costheta , dtheta , então 2 integral0^pi/2 sin^2theta cos^2theta , dtheta . Substituindo na integral:
Como , a integral fica:

Passo 8

Agora, usamos a identidade trigonométrica 2 integral0^pi/2 (1 - cos(2theta)2) (1 + cos(2theta)2) , dtheta e 2 integral0^pi/2 1 - cos^2(2theta)4 , dtheta = 12 integral0^pi/2 (1 - cos^2(2theta)) , dtheta :
Simplificando:

Passo 9

Integramos termo a termo:
12 [ integral0^pi/2 1 , dtheta - integral0^pi/2 cos^2(2theta) , dtheta ]
Sabemos que 12 [ theta |0^pi/2 - ( theta2 + sin(4theta)8 ) |0^pi/2 ] , então:
12 [ pi2 - ( pi4 + 0 ) ] = 12 ( pi4 ) = pi8
Calculando:

Resposta

O valor da integral é .

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