Utilizando os conceitos apresentados na disciplina, calcule o comprimento desta curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento da curva definida por
. Isso está relacionado ao cálculo do comprimento de uma curva usando o conceito de cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula do comprimento de arco e como derivar a função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva
entre dois pontos. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada da função em relação a
, e
e
são os limites de integração, que representam o intervalo de
que queremos considerar.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. A função dada é
. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Essa integral é conhecida e está relacionada à integral da função
, cuja antiderivada é
. Nesse caso,
.
Portanto:
Passo 6
Calculando os limites da integral:
Substituindo na expressão:
Resposta
O comprimento da curva é
.