Se C=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 4 \\\\ 2 & 1 & 5 \\\\ 6 & 0 & 7\end{array}\right), calcule o determinante de 2 C e compare com o determinante de C. Qual é a relação entre os determinantes?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4\\\\ 2 & 1 & 5\\\\ 6 & 0 & 7 \end{pmatrix}
e pede o determinante de C e de 2C, comparando-os. O conteúdo que vamos usar é a regra de Sarrus para matriz 3\times3 e a propriedade de escala do determinante de matrizes quadradas.

Passo 2

Para calcular \det\text{(C)} aplicamos a regra de Sarrus:
\det\text{(C)} =3\cdot1\cdot7 + 1\cdot5\cdot6 + 4\cdot2\cdot0 \;-\;\bigl(4\cdot1\cdot6 + 3\cdot5\cdot0 + 1\cdot2\cdot7\bigr).
Isso dá
\det\text{(C)}=3\cdot7 + 1\cdot30 + 4\cdot0 -(4\cdot6 + 3\cdot0 + 1\cdot14) =21 +30 +0 - (24 +0 +14)=51 -38=13.

Passo 3

Para \det(2C) usamos a propriedade de escala: multiplicar cada entrada de uma matriz 3\times3 por 2 equivale a multiplicar o determinante por 2^3. Logo,
\det(2C)=2^3\det\text{(C)}=8\cdot13=104.

Passo 4

Concluímos que
\det(2C)=2^3\det\text{(C)}=8\,\det\text{(C)}.
Em geral, para uma matriz n\times n vale \det(kA)=k^n\det(A).

Resposta

\det\text{(C)}=13 \det(2C)=104
Relação: \det(2C)=2^3\det\text{(C)}=8\det\text{(C)}

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