(a) Determine as matrizes dos coeficientes A e a matriz ampliada [A \mid b].
(b) Calcule o rank da matriz dos coeficientes A e da matriz ampliada [A \mid b].
(c) Determine se o sistema é compatível ou incompatível. Em outras palavras, se o sistema é SI, SPI ou SPD.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} 3x + 2y - z = 1,\\\\ 2x + y + 3z = 5,\\\ x + 4y + 2z = 3. \end{cases}
O conteúdo aqui envolve a formação da matriz de coeficientes A, da matriz ampliada [A\mid b], o cálculo do posto (rank) de cada uma e a aplicação do Teorema de Rouché–Capelli para decidir se o sistema é incompatível (SI), possível e indeterminado (SPI) ou possível e determinado (SPD).
Passo 2
Formamos a matriz de coeficientes A usando os coeficientes de x,y,z em cada linha, e a matriz ampliada [A\mid b] juntando A com o vetor coluna dos termos independentes:
Como \det(A)\neq0, concluímos que \mathrm{rank}(A)=3. E como qualquer submatriz de ordem 3 extraída de [A\mid b] é a própria A, segue que \mathrm{rank}([A\mid b])=3.
Passo 4
Pelo Teorema de Rouché–Capelli, se \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])=n, com n o número de incógnitas (aqui n=3), o sistema é possível e determinado (SPD), ou seja, tem solução única.