Considere o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} 3 x+2 y-z=1 \\\\ 2 x+y+3 z=5 \\\ x+4 y+2 z=3 \end{array}\right.
(a) Determine as matrizes dos coeficientes A e a matriz ampliada [A \mid b].
(b) Calcule o rank da matriz dos coeficientes A e da matriz ampliada [A \mid b].
(c) Determine se o sistema é compatível ou incompatível. Em outras palavras, se o sistema é SI, SPI ou SPD.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} 3x + 2y - z = 1,\\\\ 2x + y + 3z = 5,\\\ x + 4y + 2z = 3. \end{cases}
O conteúdo aqui envolve a formação da matriz de coeficientes A, da matriz ampliada [A\mid b], o cálculo do posto (rank) de cada uma e a aplicação do Teorema de Rouché–Capelli para decidir se o sistema é incompatível (SI), possível e indeterminado (SPI) ou possível e determinado (SPD).

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes A usando os coeficientes de x,y,z em cada linha, e a matriz ampliada [A\mid b] juntando A com o vetor coluna dos termos independentes:
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}, \qquad [A\mid b] = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & 1\\\\ 2 & 1 & 3 & 5\\\\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para calcular \mathrm{rank}(A) podemos observar que
\det(A) = 3\begin{vmatrix}1 & 3\\\ 4 & 2\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}2 & 3\\\ 1 & 2\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 1 & 4\end{vmatrix} =3(1\cdot2-3\cdot4)-2(2\cdot2-3\cdot1)-(2\cdot4-1\cdot1) =-30-2-7=-39\neq0.
Como \det(A)\neq0, concluímos que \mathrm{rank}(A)=3. E como qualquer submatriz de ordem 3 extraída de [A\mid b] é a própria A, segue que \mathrm{rank}([A\mid b])=3.

Passo 4

Pelo Teorema de Rouché–Capelli, se \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}([A\mid b])=n, com n o número de incógnitas (aqui n=3), o sistema é possível e determinado (SPD), ou seja, tem solução única.

Resposta

(a)
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad [A\mid b] = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 & 1\\\\ 2 & 1 & 3 & 5\\\\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
(b) \mathrm{rank}(A)=3, \mathrm{rank}([A\mid b])=3.
(c) O sistema é SPD (possível e determinado).

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