Considere a matriz A=\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 5 & 1 & 3 \\\\ 2 & 4 & 1 & 0 \\\\ 1 & 3 & 2 & 5\end{array}\right).
Calcule o determinante de A.

Passo 1

O enunciado nos pede o determinante de uma matriz A de ordem 4. O conteúdo aqui é álgebra linear, mais especificamente cálculo de determinante via operações elementares por linhas que transformam A em uma matriz triangular superior, sem trocar linhas nem escalonar (só soma múltiplos), de modo que o determinante seja o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Começamos eliminando os elementos abaixo de a_{11}=3. Aplicamos
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{2}{3}R_1, \quad R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{1}{3}R_1.
Isso produz a matriz
\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 5 & 1 & 3 \\\\ 0 & \tfrac{10}{3} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{8}{3} \\\\ 0 & \tfrac{8}{3} & \tfrac{4}{3} & \tfrac{11}{3} \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora usamos o pivô a_{22}=5 para zerar as entradas abaixo na coluna 2:
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{10/3}{5}\,R_2 = R_3 - \tfrac{2}{3}R_2, \quad R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{8/3}{5}\,R_2 = R_4 - \tfrac{8}{15}R_2.
O resultado é
\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 5 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & -1 & -\tfrac{14}{3} \\\\ 0 & 0 & \tfrac{4}{5} & \tfrac{31}{15} \end{pmatrix}.

Passo 4

Por fim, eliminamos o termo \tfrac{4}{5} em (4,3) usando o pivô -1 de (3,3):
R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{4}{5}\,R_3,
ficando
\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 5 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & -1 & -\tfrac{14}{3} \\\\ 0 & 0 & 0 & -\tfrac{5}{3} \end{pmatrix}.

Passo 5

Como não fizemos trocas de linhas nem multiplicações de linha por constantes, o determinante de A é o produto dos pivôs diagonais:
\det(A) = 3 \times 5 \times (-1)\times\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr) = 25.

Resposta

\det(A)=25.

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