(c) Uma matriz quadrada com vetores-coluna linearmente independentes é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado afirma que “uma matriz quadrada com vetores-coluna linearmente independentes é diagonalizável”. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: vamos precisar lembrar que independência das colunas implica invertibilidade, mas diagonalização exige algo mais, a saber, n autovetores independentes.

Passo 2

Se as colunas de uma matriz quadrada AinR^ntimes n são linearmente independentes, então o núcleo de A é trivial e
det(A)neq0,
ou seja, A é invertível. Contudo, invertibilidade apenas garante que zero não é autovalor de A, e não diz nada sobre quantos autovetores independentes A possui.

Passo 3

Por definição, A é diagonalizável se existe uma matriz invertível P tal que
P^-1AP = D,
onde D é diagonal. Isso ocorre exatamente quando há \emph{ n autovetores linearmente independentes} de A. Invertibilidade sozinha não assegura essa quantidade de autovetores.

Passo 4

Um contraexemplo clássico é a matriz de Jordan de ordem 2 com autovalor 1:
A = 1 & 1[6pt]0 & 1
As colunas de A são (1,0)^T e (1,1)^T, claramente independentes, logo det(A)=1neq0. Mas o único autovalor é lambda=1 com multiplicidade algébrica 2, e a dimensão do espaço próprio gerado por lambda=1 é 1 (pois (A-I)x=0 só tem soluções múltiplas de (1,0)^T). Faltam autovetores independentes para diagonalizar, então A não é diagonalizável.]

Resposta

A afirmativa é falsa.

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