(c) Uma matriz quadrada com vetores-coluna linearmente independentes é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado afirma que “uma matriz quadrada com vetores-coluna linearmente independentes é diagonalizável”. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: vamos precisar lembrar que independência das colunas implica invertibilidade, mas diagonalização exige algo mais, a saber,
autovetores independentes.
Passo 2
Se as colunas de uma matriz quadrada
são linearmente independentes, então o núcleo de
é trivial e
ou seja,
é invertível. Contudo, invertibilidade apenas garante que zero não é autovalor de
, e não diz nada sobre quantos autovetores independentes
possui.
Passo 3
Por definição,
é diagonalizável se existe uma matriz invertível
tal que
onde
é diagonal. Isso ocorre exatamente quando há \emph{
autovetores linearmente independentes} de
. Invertibilidade sozinha não assegura essa quantidade de autovetores.
Passo 4
Um contraexemplo clássico é a matriz de Jordan de ordem
com autovalor
:
As colunas de
são
e
, claramente independentes, logo
. Mas o único autovalor é
com multiplicidade algébrica
, e a dimensão do espaço próprio gerado por
é
(pois
só tem soluções múltiplas de
). Faltam autovetores independentes para diagonalizar, então
não é diagonalizável.]
Resposta
A afirmativa é falsa.