Considere o espaço vetorial Pn de polinômios de ordem menor ou igual à n e as seguintes transformações lineares definidas no espaço:
ll T1: Pn Pn & T1[p(x)]=p(a1 x+b1) T2: Pn Pn+1 & T2[p(x)]=(a2 x+b2) p(x)
BRUNA EDUARDA ANTONIOLLI
(a1, b1)=(-83,-1) (a2, b2)=(-34, 83)
Partindo de um polinômio p in P2, determine as matrizes de transformação definidas a seguir.
IV. Matriz M12 associada a transformação T1[T2[p(x)]].

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação composta
T1l[T2[p(x)]r]
onde pin P2. Aqui T2:P2to P3 multiplica por l(a2x+b2r) e depois T1:P3to P3 faz a mudança de variável xmapsto a1x+b1. Vamos usar as bases canônicas
1,x,x^2 em P2, 1,x,x^2,x^3 em P3,
montar as matrizes M2 e M1 dessas transformações e enfim calcular
M12=M1,M2

Passo 2

Para ,
Assim, na base o vetor imagem é
Com obtemos

Passo 3

Para q(x)=alpha0+alpha1x+alpha2x^2+alpha3x^3,
T1[q(x)]=q(a1x+b1) =alpha0+alpha1(a1x+b1) +alpha2(a1x+b1)^2 +alpha3(a1x+b1)^3
Expandindo e agrupando em 1,x,x^2,x^3 obtém‐se
beta0beta1beta2beta3 = underbrace 1 & b1 & b1^2 & b1^3 0 & a1 & 2a1b1 & 3a1b1^2 0 & 0 & a1^2 & 3a1^2b1 0 & 0 & 0 & a1^3 M1 alpha0alpha1alpha2alpha3
Com l(a1,b1r)=l(-tfrac83,-1r) temos
M1 = 1 & -1 & 1 & -1 0 & -tfrac83 & tfrac163 & -8 0 & 0 & tfrac649 & -tfrac643 0 & 0 & 0 & -tfrac51227

Passo 4

Finalmente,
M12=M1,M2 = tfrac4112 & -tfrac4112 & tfrac4112 2 & -tfrac1009 & tfrac1829 0 & -tfrac163 & tfrac94427 0 & 0 & tfrac1289

Resposta

M12 = 4112 & -4112 & 4112[6pt] 2 & -1009 & 1829[6pt] 0 & -163 & 94427[6pt] 0 & 0 & 1289 ]

Exercícios relacionados