Para C a metade superior da circunferência de centro coincidindo com a origem e raio 2u.c. Determine:
integralC(5 x^2 y2) d s

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha escalar integralC5x^2y2,ds ao longo da metade superior da circunferência de raio 2 com centro na origem. O conteúdo envolve integral de linha escalar, então vamos parametrizar a curva, achar o elemento de arco ds e substituir na integral.

Passo 2

Para parametrizar C, usamos as funções x=2cos t e y=2sin t com o parâmetro variando de t=0 até t=pi. As derivadas são dot x=-2sin t e dot y=2cos t, e o elemento de comprimento de arco é dado por ds=raiz(dot x)^2+(dot y)^2,dt=2,dt.

Passo 3

Agora substituímos na integral. Primeiro note que
[\displaystyle \frac{5x^2y}{2}=\frac{5}{2},(2\cos t)^2(2\sin t)=20\cos^2t\sin t,]
e multiplicando por ds=2,dt o integrando fica 20cos^2tsin ttimes2=40cos^2tsin t. Logo a integral se transforma em
[\displaystyle \int_{0}{\pi}40\cos2t\sin t,dt.]

Passo 4

Para calcular essa integral, fazemos a substituição u=cos t, logo du=-sin t,dt. Quando t=0, u=1; quando t=pi, u=-1. Assim temos
[\displaystyle \int_{0}{\pi}40\cos2t\sin t,dt=-40\int_{1}{-1}u2,du=-40\Bigl[\frac{u3}{3}\Bigr]_{1}{-1}=\frac{80}{3}.]

Resposta

803

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