Para
a metade superior da circunferência de centro coincidindo com a origem e raio 2u.c. Determine:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha escalar
ao longo da metade superior da circunferência de raio 2 com centro na origem. O conteúdo envolve integral de linha escalar, então vamos parametrizar a curva, achar o elemento de arco
e substituir na integral.
Passo 2
Para parametrizar
, usamos as funções
e
com o parâmetro variando de
até
. As derivadas são
e
, e o elemento de comprimento de arco é dado por
.
Passo 3
Agora substituímos na integral. Primeiro note que
[\displaystyle \frac{5x^2y}{2}=\frac{5}{2},(2\cos t)^2(2\sin t)=20\cos^2t\sin t,]
e multiplicando por o integrando fica
. Logo a integral se transforma em
[\displaystyle \int_{0}{\pi}40\cos2t\sin t,dt.]
[\displaystyle \frac{5x^2y}{2}=\frac{5}{2},(2\cos t)^2(2\sin t)=20\cos^2t\sin t,]
e multiplicando por
[\displaystyle \int_{0}{\pi}40\cos2t\sin t,dt.]
Passo 4
Para calcular essa integral, fazemos a substituição
, logo
. Quando
,
; quando
,
. Assim temos
[\displaystyle \int_{0}{\pi}40\cos2t\sin t,dt=-40\int_{1}{-1}u2,du=-40\Bigl[\frac{u3}{3}\Bigr]_{1}{-1}=\frac{80}{3}.]
[\displaystyle \int_{0}{\pi}40\cos2t\sin t,dt=-40\int_{1}{-1}u2,du=-40\Bigl[\frac{u3}{3}\Bigr]_{1}{-1}=\frac{80}{3}.]