Para C a metade superior da circunferência de centro coincidindo com a origem e raio 2 u.c. no sentido anti-horário e para K a região limitada entre essa curva e o eixo x. Determine:
integralegral duplaK(raizx^2+y^2) d A

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla sobre a região K , que é o espaço entre a metade superior de um círculo de raio 2 (centro na origem) e o eixo x . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que estamos lidando com círculos. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usarmos x e y , usamos r (a distância do ponto à origem) e theta (o ângulo em relação ao eixo x ). A relação entre as coordenadas cartesianas e polares é:
x = r cos(theta) y = r sin(theta)
Além disso, o elemento de área dA em coordenadas polares é dado por r , dr , dtheta . Como a nossa função a integrar é raizx^2 + y^2 , que em coordenadas polares é simplesmente r , a integral fica mais simples.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Nosso círculo tem raio 2, então r varia de 0 a 2. A metade superior do círculo corresponde a ângulos theta que vão de 0 a pi (180 graus). Portanto, os limites são:
0 <= r <= 2 0 <= theta <= pi

Passo 4

Com tudo isso, vamos montar a integral em coordenadas polares:
integral duplaK raizx^2+y^2 , dA = integral0^pi integral0^2 r cdot r , dr , dtheta = integral0^pi integral0^2 r^2 , dr , dtheta
Agora, vamos resolver a integral interna em r :
integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 83 - 0 = 83
Em seguida, a integral externa em theta :
integral0^pi 83 , dtheta = 83 cdot pi = 8pi3

Resposta

A integral dupla sobre a região K é igual a 8pi3 unidades de área.

Exercícios relacionados