Para C a metade superior da circunferência de centro coincidindo com a origem e raio 2 u.c. no sentido anti-horário e para
a região limitada entre essa curva e o eixo
. Determine:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla sobre a região
, que é o espaço entre a metade superior de um círculo de raio 2 (centro na origem) e o eixo
. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que estamos lidando com círculos. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em vez de usarmos
e
, usamos
(a distância do ponto à origem) e
(o ângulo em relação ao eixo
). A relação entre as coordenadas cartesianas e polares é:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por
. Como a nossa função a integrar é
, que em coordenadas polares é simplesmente
, a integral fica mais simples.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Nosso círculo tem raio 2, então
varia de 0 a 2. A metade superior do círculo corresponde a ângulos
que vão de 0 a
(180 graus). Portanto, os limites são:
Passo 4
Com tudo isso, vamos montar a integral em coordenadas polares:
Agora, vamos resolver a integral interna em
:
Em seguida, a integral externa em
:
Resposta
A integral dupla sobre a região
é igual a
unidades de área.