Calcule os seguintes limites: justifique o motivo da não existência do mesmo.
lim x -2 8+x^34-x^2

Passo 1

Queremos calcular
limxto -28+x^34-x^2
O conteúdo envolvido é o de limites de funções racionais que apresentam indeterminação do tipo tfrac00. Para resolver, vamos primeiro testar a substituição direta e, ao obter a indeterminação, aplicar fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Substituindo x=-2 diretamente em numerador e denominador, temos
8+(-2)^3 = 8 - 8 = 0,
4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0
Logo é uma forma indeterminada tfrac00.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, fatoramos numerador e denominador.
8 + x^3 = (x+2),(x^2 - 2x + 4),
4 - x^2 = (2+x),(2-x)

Passo 4

Reescrevendo a fração com essas fatorações:
8 + x^34 - x^2 = (x+2),(x^2 - 2x + 4)(2+x),(2-x) = x^2 - 2x + 42 - x,
pois o fator (x+2) cancela com (2+x). Note também que 2 - x = -(x - 2), de modo que
x^2 - 2x + 42 - x = -,x^2 - 2x + 4x - 2

Passo 5

A função
g(x)=-x^2 - 2x + 4x - 2
é contínua num entorno de x=-2 (já não apresenta divisão por zero nessa vizinhança). Pelo Teorema da continuidade, podemos então substituir x=-2 em g(x):
limxto -28+x^34-x^2 = g(-2) = -(-2)^2 - 2cdot(-2) + 4(-2)-2 = -4 + 4 + 4-4 = -12-4 = 3

Resposta

limxto -28+x^34-x^2=3

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