C, onde z=0, z=1+2 i é o triângulo com vértices em z=1 e .

Passo 1

O enunciado pede para calcular ointCl(z^3+z^2+Re(z)r),dz, onde C é o triângulo de vértices em 0, 1+2i e 1. O conteúdo envolve integrais de linha de funções complexas, separando parte analítica (onde vale o teorema de Cauchy) e parte não analítica (onde usaremos o teorema de Green).

Passo 2

Vamos escrever f(z)=z^3+z^2+Re(z) e separar a integral em duas: ointCz^3,dz=0 e ointCz^2,dz=0 por serem funções polinomiais (integrais nulas em caminho fechado). Resta calcular ointCRe(z),dz.

Passo 3

Para lidar com ointCRe(z),dz, escrevemos z=x+iy, então Re(z)=x e dz=dx+i,dy. Assim
ointCx,dz=ointCx,dx+iointCx,dy.

Passo 4

Aplicamos o teorema de Green para cada parte. Para oint x,dx tomamos P=x, Q=0, e oint P,dx+Q,dy=integral dupla(partial Q/partial x-partial P/partial y),dA=0. Para oint x,dy tomamos P=0, Q=x, dando oint x,dy=integral dupla(partial Q/partial x),dA=integral dupla1,dA, que é a área do triângulo.

Passo 5

O triângulo de vértices (0,0),(1,0),(1,2) tem área tfrac1cdot22=1. Logo ointCx,dy=1 e ointCRe(z),dz=i. Somando tudo, a integral original vale i.

Resposta

i

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