Calcule as integrais usando o método da substituição
integral 2 sin x cos ^2 x d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral 2sin x,cos^2 x,dx. O assunto aqui é o método da substituição em integrais indefinidas. Para isso, precisamos reconhecer dentro da integral uma parte cuja derivada também apareça.

Passo 2

Primeiro, note que dá para tirar o 2 como constante e reorganizar:
integral 2sin x,cos^2 x,dx = 2integral cos^2 x,sin x,dx
Isso deixa claro que temos cos^2 x e sin x,dx, e a derivada de cos x é -sin x.

Passo 3

Vamos usar a substituição
u = cos x, du = -sin x,dx implies sin x,dx = -du
Substituindo em 2integral cos^2 x,sin x,dx:
2integral u^2,(-du) = -2integral u^2,du

Passo 4

Agora é só integrar em u:
integral u^2,du = u^33 + C
Logo,
-2integral u^2,du = -2cdot u^33 + C = -23u^3 + C
Voltando pra x, como u=cos x, a antiderivada final é
-tfrac23cos^3 x + C.

Resposta

-\tfrac{2}{3}\cos^3 x + C

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