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, calcule
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos um círculo $ C $ definido por $ |z| = r $, e precisamos calcular o valor absoluto da integral $ \left|\oint_{C} \frac{dz}{z}\right| $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo em números complexos, especificamente integrais de contorno e propriedades de funções analíticas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral $ \oint_{C} \frac{dz}{z} $. Em cálculo complexo, sabemos que essa é uma integral de contorno de uma função meromorfa, ou seja, que tem polos, sobre um caminho fechado $ C $.
Passo 3
A função $ \frac{1}{z} $ tem um polo de ordem 1 em $ z = 0 $. O teorema dos resíduos nos diz que para calcular a integral de uma função ao redor de um polo, multiplicamos $ 2\pi i $ pelo resíduo da função nesse ponto.
Passo 4
Calculando o resíduo de $ \frac{1}{z} $ em $ z = 0 $, percebemos que como é um polo de ordem 1, o resíduo é simplesmente o coeficiente de $ \frac{1}{z} $, que é 1. Portanto, $ \oint_{C} \frac{dz}{z} = 2\pi i \times 1 = 2\pi i $.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor absoluto dessa integral, ou seja, $ \left|2\pi i\right| $. O valor absoluto de um número complexo $ a + bi $ é dado por $ \sqrt{a^2 + b^2} $.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso resultado, temos $ |2\pi i| = \sqrt{0^2 + (2\pi)^2} = 2\pi $.
Resposta
O valor absoluto da integral é $ 2\pi $.