Escreva a série de Taylor para a seguinte função complexa, e diga para quais valores de
a série é convergente:
ao redor de
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a série de Taylor para a função complexa $ f(z) = \frac{1}{z} $ em torno de $ z = 2 $ e descobrir para quais valores de $ z $ essa série dá certo, ou seja, converge. Para isso, vamos usar conhecimento sobre séries de Taylor e séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ f(z) = \frac{1}{z} $ de uma forma que facilite a expansão em série em torno de $ z = 2 $. Podemos fazer isso expressando $ z $ como $ 2 + (z - 2) $. Então:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o 2 que está fora do parênteses para simplificar a expressão:
Passo 4
A expressão $ \frac{1}{1 + \frac{z - 2}{2}} $ lembra a forma de uma série geométrica. Sabemos que a série geométrica $ \frac{1}{1 - x} $ se expande como $ \sum_{n=0}^{\infty} x^n $ quando $ |x| < 1 $. No nosso caso, temos um sinal positivo, então:
Aqui, $ x = -\frac{z - 2}{2} $, e para a série convergir, precisamos que $ \left| \frac{z - 2}{2} \right| < 1 $.
Passo 5
Multiplicando tudo pelo $ \frac{1}{2} $ que tínhamos no início:
Passo 6
Agora, vamos determinar para quais valores de $ z $ essa série converge. Como vimos, a condição de convergência é:
Isso significa que a série dá certo para todos os $ z $ que estão a menos de 2 unidades de distância de 2 no plano complexo.
Resposta
A série de Taylor para $ f(z) = \frac{1}{z} $ em torno de $ z = 2 $ é:
Essa série converge para todos os valores de $ z $ tais que $ |z - 2| < 2 $.