Os vetores A e B estão no plano xy. A tem módulo 8,00 e ângulo 130^circ ; B tem componentes Bx=-7,72 e By=-9,20. Determine os ângulos entre o semi-eixo y negativo e (b) o vetor A times B

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre dois vetores, A e B, que estão no plano xy. A gente precisa descobrir o ângulo entre o produto vetorial desses vetores ( A times B) e o semi-eixo y negativo. Para isso, vamos usar conceitos de produto vetorial e geometria vetorial. Vamos precisar das componentes dos vetores e das fórmulas do produto vetorial para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as componentes do vetor A. Sabemos que o módulo de A é 8,00 e o ângulo que ele forma com o eixo x é 130^circ. As componentes Ax e Ay podem ser encontradas usando as funções cosseno e seno:
Ax = |A| cdot cos(thetaA) = 8,00 cdot cos(130^circ)
Ay = |A| cdot sin(thetaA) = 8,00 cdot sin(130^circ)

Passo 3

Calculando os valores das componentes:
cos(130^circ) approx -0,6428 Rightarrow Ax = 8,00 cdot (-0,6428) approx -5,14
sin(130^circ) approx 0,7660 Rightarrow Ay = 8,00 cdot 0,7660 approx 6,13
Então, as componentes de A são Ax approx -5,14 e Ay approx 6,13.

Passo 4

Agora, temos as componentes de A e B. O próximo passo é calcular o produto vetorial A times B. No plano xy, o produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor na direção do eixo z, e seu módulo é dado por:
|A times B| = Ax By - Ay Bx
Substituindo os valores:
|A times B| = (-5,14)(-9,20) - (6,13)(-7,72)

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
(-5,14) times (-9,20) = 47,37
(6,13) times (-7,72) = -47,27
Então:
|A times B| = 47,37 - (-47,27) = 47,37 + 47,27 = 94,64
O vetor A times B tem módulo 94,64 e está na direção positiva do eixo z.

Passo 6

Agora, precisamos determinar o ângulo entre A times B e o semi-eixo y negativo. Como A times B está no eixo z positivo e o semi-eixo y negativo está no plano xy apontando para baixo, o ângulo entre eles é de 90^circ.

Resposta

O ângulo entre A times B e o semi-eixo y negativo é de 90^circ.

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