Este problema está relacionado ao teorema da equipartição de energia. Considere um sistema no qual a energia de uma partícula é dada por E=A u^2, onde A é uma constante e u é qualquer coordenada ou momento que pode variar de -infty a +infty.
(b) Calcule a energia média lang<= Erang<==lang<= A u^2rang<= e mostre que lang<= Erang<==12 k T. [-]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício trata do teorema da equipartição de energia, que é um conceito importante na física estatística. A gente precisa calcular a energia média lang<= E rang<= = lang<= A u^2 rang<= de um sistema onde a energia de uma partícula é dada por E = A u^2. No final, devemos mostrar que essa energia média é igual a 12 k T, onde k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a energia média lang<= E rang<=. Em física estatística, a energia média é o valor médio da energia que uma partícula tem em um sistema em equilíbrio térmico. Para calcular isso, usamos a distribuição de Boltzmann, que nos ajuda a determinar a probabilidade de a partícula ter uma certa energia.

Passo 3

A fórmula para a energia média lang<= E rang<= é dada por:
lang<= E rang<= = integral-infty^+infty E , e^-E/(kT) , duintegral-infty^+infty e^-E/(kT) , du
Onde:
  • E = A u^2 é a energia da partícula.
  • k é a constante de Boltzmann.
  • T é a temperatura.
Vamos substituir E por A u^2 na fórmula.

Passo 4

Substituindo E = A u^2, temos:
lang<= E rang<= = integral-infty^+infty A u^2 , e^-A u^2/(kT) , duintegral-infty^+infty e^-A u^2/(kT) , du
Agora, precisamos resolver essas integrais.

Passo 5

Lembrando que a integral de uma função gaussiana é conhecida:
integral-infty^+infty e^-a u^2 , du = raizpia
E a integral de u^2 vezes uma função gaussiana é:
integral-infty^+infty u^2 e^-a u^2 , du = raizpi2 a^3/2
Aqui, a = AkT.

Passo 6

Vamos calcular o denominador primeiro:
integral-infty^+infty e^-A u^2/(kT) , du = raizpi k TA
Agora, o numerador:
integral-infty^+infty A u^2 , e^-A u^2/(kT) , du = A cdot raizpi (k T)^3/22 A^3/2 = raizpi (k T)^3/22 A^1/2

Passo 7

Agora, substituímos os resultados no cálculo da energia média:

Resposta

Portanto, a energia média é lang<= E rang<= = 12 k T.

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