Este problema está relacionado ao teorema da equipartição de energia. Considere um sistema no qual a energia de uma partícula é dada por
, onde
é uma constante e
é qualquer coordenada ou momento que pode variar de
a
.
(b) Calcule a energia média
e mostre que
. [-]
(b) Calcule a energia média
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício trata do teorema da equipartição de energia, que é um conceito importante na física estatística. A gente precisa calcular a energia média
de um sistema onde a energia de uma partícula é dada por
. No final, devemos mostrar que essa energia média é igual a
, onde
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a energia média
. Em física estatística, a energia média é o valor médio da energia que uma partícula tem em um sistema em equilíbrio térmico. Para calcular isso, usamos a distribuição de Boltzmann, que nos ajuda a determinar a probabilidade de a partícula ter uma certa energia.
Passo 3
A fórmula para a energia média
é dada por:
Onde:
-
é a energia da partícula. -
é a constante de Boltzmann. -
é a temperatura.
Vamos substituir
por
na fórmula.
Passo 4
Substituindo
, temos:
Agora, precisamos resolver essas integrais.
Passo 5
Lembrando que a integral de uma função gaussiana é conhecida:
E a integral de
vezes uma função gaussiana é:
Aqui,
.
Passo 6
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, o numerador:
Passo 7
Agora, substituímos os resultados no cálculo da energia média:
Resposta
Portanto, a energia média é
.