O deslocamento d1 está no plano yz faz um ângulo de 63,0^circ com o semi-eixo y positivo, tem uma componente z positiva e um módulo de 4,50 m. O deslocamento d2 está no plano xz, faz um ângulo de 30, 0^0 com semi-eixo x positivo, tem uma componente z positiva e um módulo de 1,40m. Determine (b) d1 times d2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o produto vetorial entre dois deslocamentos, d1 e d2. Estamos lidando com vetores no espaço tridimensional, especificamente nos planos yz e xz. Para resolver isso, precisamos entender como representar os vetores em componentes e depois aplicar a fórmula do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada vetor em suas componentes x, y e z.
Para d1:
  • Está no plano yz, então a componente x é zero.
  • Faz um ângulo de 63,0^circ com o eixo y positivo.
  • Módulo de 4,50, m.
Vamos calcular as componentes y e z usando funções trigonométricas:
d1y = d1 cdot cos(theta) = 4,50, m cdot cos(63^circ)
d1z = d1 cdot sin(theta) = 4,50, m cdot sin(63^circ)
Calculando:
d1y approx 4,50 times 0,4540 = 2,043, m
d1z approx 4,50 times 0,8910 = 4,010, m
Então, d1 = (0,, 2,043, m,, 4,010, m).
Para d2:
  • Está no plano xz, então a componente y é zero.
  • Faz um ângulo de 30,0^circ com o eixo x positivo.
  • Módulo de 1,40, m.
Vamos calcular as componentes x e z:
d2x = d2 cdot cos(phi) = 1,40, m cdot cos(30^circ)
d2z = d2 cdot sin(phi) = 1,40, m cdot sin(30^circ)
Calculando:
d2x approx 1,40 times 0,8660 = 1,212, m
d2z approx 1,40 times 0,5000 = 0,700, m
Então, d2 = (1,212, m,, 0,, 0,700, m).

Passo 3

Agora que temos as componentes dos dois vetores, vamos calcular o produto vetorial d1 times d2. A fórmula do produto vetorial entre dois vetores A = (Ax, Ay, Az) e B = (Bx, By, Bz) é:
A times B = ( Ay Bz - Az By, ; Az Bx - Ax Bz, ; Ax By - Ay Bx )
Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
d1 times d2 = ( d1y d2z - d1z d2y, ; d1z d2x - d1x d2z, ; d1x d2y - d1y d2x )
Substituindo pelos valores:
d1 times d2 = ( 2,043 times 0,700 - 4,010 times 0, ; 4,010 times 1,212 - 0 times 0,700, ; 0 times 0 - 2,043 times 1,212 )
Calculando cada componente:
x: 2,043 times 0,700 = 1,430, m^2
y: 4,010 times 1,212 = 4,853, m^2
z: -2,043 times 1,212 = -2,470, m^2
Então:
d1 times d2 = (1,430, m^2, ; 4,853, m^2, ; -2,470, m^2)

Resposta

O produto vetorial d1 times d2 é:
d1 times d2 = (1,430, m^2), i + (4,853, m^2), j - (2,470, m^2), k

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