© (3 pontos) Exprima o vetor w=(1,1) como combinação linear de u e v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre combinações lineares. Para resolver isso, vamos precisar saber como combinar os vetores e usando coeficientes escalares para chegar no vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar números (escalars) w = a cdot u + b cdot v e tais que:
Isso significa que multiplicamos o vetor por e o vetor por e somamos os resultados para obter o vetor .

Passo 3

Vamos escrever isso de forma mais detalhada. Suponha que:
u = (u1, u2) e v = (v1, v2)
Então, a combinação linear fica:
a cdot u + b cdot v = a(u1, u2) + b(v1, v2) = (a u1 + b v1, a u2 + b v2)
Como queremos que isso seja igual a a u1 + b v1 = 1 a u2 + b v2 = 1 , temos o sistema de equações:

Passo 4

Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a u1 v2 + b v1 v2 = v2 a u2 v1 + b v2 v1 = v1 e a (u1 v2 - u2 v1) = v2 - v1 . Uma maneira de fazer isso é usar eliminação ou substituição. Vou mostrar usando o método da eliminação.
Multiplicamos a primeira equação por a = v2 - v1u1 v2 - u2 v1 e a segunda por :
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Então, isolando :

Passo 5

Com o valor de a u1 + b v1 = 1 Rightarrow b v1 = 1 - a u1 Rightarrow b = 1 - a u1v1 encontrado, substituímos de volta na primeira equação para encontrar b = 1 - ( v2 - v1u1 v2 - u2 v1 ) u1v1 :
b = u1 v1 - u1 cdot (v2 - v1)v1 (u1 v2 - u2 v1) = u1 v1 - u1 v2 + u1 v1v1 (u1 v2 - u2 v1) = 2 u1 v1 - u1 v2v1 (u1 v2 - u2 v1)
Substituindo o valor de :
Simplificando:

Resposta

Portanto, o vetor w = a cdot u + b cdot v pode ser expresso como combinação linear de a = v2 - v1u1 v2 - u2 v1 e b = 2 u1 v1 - u1 v2v1 (u1 v2 - u2 v1) e da seguinte forma:
Onde:
Assim, encontramos os coeficientes e que combinados com os vetores e resultam no vetor .

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