© (3 pontos) Exprima o vetor
como combinação linear de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente expressar o vetor
como uma combinação linear dos vetores
e
. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre combinações lineares. Para resolver isso, vamos precisar saber como combinar os vetores
e
usando coeficientes escalares para chegar no vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar números (escalars)
e
tais que:
Isso significa que multiplicamos o vetor
por
e o vetor
por
e somamos os resultados para obter o vetor
.
Passo 3
Vamos escrever isso de forma mais detalhada. Suponha que:
Então, a combinação linear fica:
Como queremos que isso seja igual a
, temos o sistema de equações:
Passo 4
Agora, precisamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
. Uma maneira de fazer isso é usar eliminação ou substituição. Vou mostrar usando o método da eliminação.
Multiplicamos a primeira equação por
e a segunda por
:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Então, isolando
:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na primeira equação para encontrar
:
Substituindo o valor de
:
Simplificando:
Resposta
Portanto, o vetor
pode ser expresso como combinação linear de
e
da seguinte forma:
Onde:
Assim, encontramos os coeficientes
e
que combinados com os vetores
e
resultam no vetor
.