(6 pontos) Determine uma condição sobre
e
para que a reta
seja tangente à circunferência
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma condição envolvendo
,
e
de forma que a reta
seja tangente à circunferência
. Isso entra na matéria de Geometria Analítica, especificamente no estudo de retas e circunferências. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância de um ponto até uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma circunferência centrada na origem
tem raio
. A reta dada é
. Para que essa reta seja tangente à circunferência, a distância entre o centro da circunferência e a reta deve ser exatamente igual ao raio
.
Passo 3
Vamos calcular a distância entre o ponto
e a reta
. A fórmula para a distância
de um ponto
até a reta
é:
No nosso caso, a reta
pode ser reescrita como
. Então,
,
e
. O ponto é
.
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula da distância:
(Note que consideramos
positivo, já que a distância é sempre positiva.)
Passo 5
Como a distância
deve ser igual ao raio
para que a reta seja tangente, temos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a condição desejada.
Passo 6
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A condição necessária é
.