(6 pontos) Determine uma condição sobre b, c e r para que a reta x+b y=c seja tangente à circunferência x^2+y^2=r^2.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma condição envolvendo , e de forma que a reta seja tangente à circunferência . Isso entra na matéria de Geometria Analítica, especificamente no estudo de retas e circunferências. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da distância de um ponto até uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma circunferência centrada na origem tem raio . A reta dada é . Para que essa reta seja tangente à circunferência, a distância entre o centro da circunferência e a reta deve ser exatamente igual ao raio .

Passo 3

Vamos calcular a distância entre o ponto D = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2 e a reta . A fórmula para a distância de um ponto até a reta é:
No nosso caso, a reta pode ser reescrita como . Então, , e . O ponto é .

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da distância:
D = |1 cdot 0 + b cdot 0 - c|raiz1^2 + b^2 = | -c |raiz1 + b^2 = craiz1 + b^2
(Note que consideramos positivo, já que a distância é sempre positiva.)

Passo 5

Como a distância craiz1 + b^2 = r deve ser igual ao raio para que a reta seja tangente, temos:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a condição desejada.

Passo 6

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
( craiz1 + b^2 )^2 = r^2 implies c^21 + b^2 = r^2
Multiplicando ambos os lados por c^2 = r^2(1 + b^2) :

Resposta

A condição necessária é .

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