(c) (2.0 pts) Considere os subconjuntos não vazios do espaço vetorial M2 times 2(R) :
c W=(ll a & b c & d ) rvert, a-2 b=0, U=(ll a & b c & d ) rvert, a b-c d=0 e R=(ll a & b c & d ) rvert, b=raiza
Determine se são subespaços.

Passo 1

O enunciado apresenta três subconjuntos não vazios de :
,

e
.
Queremos verificar para cada conjunto se ele é subespaço vetorial de . Para isso, usamos o critério padrão: o conjunto deve conter a matriz nula, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação de .
  1. A matriz nula satisfaz , logo .
  2. Se e estão em , então e . Ao somar,
logo .
3. Para qualquer escalar ,
então .
Conclusão: satisfaz todas as condições e é subespaço.

Passo 3

Verificação de U.
  1. A matriz nula satisfaz 0cdot0 - 0cdot0=0, então Oin U.
  2. Mas a soma não é fechada. Considere
    M1=0&00&1 e
    M2=1&11&1.
    Para M1 temos 0cdot0 - 0cdot1=0 e para M2 temos 1cdot1 - 1cdot1=0, ou seja, M1,M2in U. Mas
M1+M2=1&11&2 e 1cdot1 - 1cdot2 = -1 neq 0,
logo M1+M2notin U.
Conclusão: U não é fechado sob soma e, portanto, não é subespaço.

Passo 4

Verificação de R.
  1. A matriz nula satisfaz b=0 e raiza=raiz0=0, logo Oin R.
  2. Mas falta fechamento por escalar. Tome
    M=1&10&0 em R pois b=1=raiz1. Para lambda=4,
lambda M = 4&40&0
e aí b'=4, raiza'=raiz4=2, ou seja, 4neq2 e lambda Mnotin R.
Conclusão: R não é fechado sob multiplicação por escalar e não é subespaço.

Resposta

W é subespaço de M2times2(R).
U e R não são subespaços de M2times2(R).

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