(c) (2.0 pts) Considere os subconjuntos não vazios do espaço vetorial :
Determine se são subespaços.
Passo 1
O enunciado apresenta três subconjuntos não vazios de :
,
e
.
Queremos verificar para cada conjunto se ele é subespaço vetorial de . Para isso, usamos o critério padrão: o conjunto deve conter a matriz nula, ser fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificação de .
A matriz nula satisfaz , logo .
Se e estão em , então e . Ao somar,
logo .
3. Para qualquer escalar ,
então .
Conclusão: satisfaz todas as condições e é subespaço.
Passo 3
Verificação de U.
A matriz nula satisfaz 0cdot0 - 0cdot0=0, então Oin U.
Mas a soma não é fechada. Considere M1=0&00&1 e M2=1&11&1.
Para M1 temos 0cdot0 - 0cdot1=0 e para M2 temos 1cdot1 - 1cdot1=0, ou seja, M1,M2in U. Mas
M1+M2=1&11&2 e 1cdot1 - 1cdot2 = -1 neq 0,
logo M1+M2notin U.
Conclusão: U não é fechado sob soma e, portanto, não é subespaço.
Passo 4
Verificação de R.
A matriz nula satisfaz b=0 e raiza=raiz0=0, logo Oin R.
Mas falta fechamento por escalar. Tome M=1&10&0 em R pois b=1=raiz1. Para lambda=4,
lambda M = 4&40&0
e aí b'=4, raiza'=raiz4=2, ou seja, 4neq2 e lambda Mnotin R.
Conclusão: R não é fechado sob multiplicação por escalar e não é subespaço.
Resposta
W é subespaço de M2times2(R). U e R não são subespaços de M2times2(R).