(ả) ( 0,5 pts) Liste as propriedades necessários para que um conjunto com operaçōes de adição e multiplicação por escalar seja considerado um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

O enunciado pede para listar todas as propriedades (axiomas) que um conjunto V deve satisfazer, munido de duas operações — adição de vetores e multiplicação por escalar real — para ser considerado um espaço vetorial sobre R. Vamos usar diretamente a definição de espaço vetorial.

Passo 2

1. Fechamento em adição: para quaisquer u,vin V,
u+vin V
2. Comutatividade da adição: para quaisquer u,vin V,
u+v = v+u
3. Associatividade da adição: para quaisquer u,v,win V,
(u+v)+w = u+(v+w)
4. Existência do elemento neutro aditivo: existe 0in V tal que, para todo vin V,
v + 0 = v
5. Existência de inverso aditivo: para cada vin V existe -vin V tal que
v + (-v) = 0
6. Fechamento em multiplicação por escalar: para todo alphainR e vin V,
alpha,v in V
7. Compatibilidade entre escalares e vetores: para quaisquer alpha,betainR e vin V,
alpha,( beta,v ) = (alpha,beta),v
8. Distributividade de escalares sobre adição de escalares: para quaisquer alpha,betainR e vin V,
(alpha + beta),v = alpha,v + beta,v
9. Distributividade de escalares sobre adição de vetores: para qualquer alphainR e u,vin V,
alpha,(u+v) = alpha,u + alpha,v
10. Identidade escalar: para todo vin V,
1,v = v

Resposta

As propriedades necessárias são exatamente os dez axiomas de espaço vetorial listados no Passo 2 acima.

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