Encontre os geradores para os seguintes subespaços:
(b) (0.5 pts) W1=a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3+a4 x^4 in P4 mid a0+a2=a3+a4 e a1=0.

Passo 1

O enunciado pede os geradores de
W1=l,a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4inP4mid a1=0,;a0+a2=a3+a4r
Estamos em P4, o espaço dos polinômios de grau até 4, e vamos aplicar condições lineares sobre os coeficientes para achar uma base.

Passo 2

Escrevemos o polinômio genérico em P4 e impomos as condições:
p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+a4x^4, a1=0, a0+a2=a3+a4
Como a1=0, fica
p(x)=a0+a2x^2+a3x^3+a4x^4,
e resta a condição a0+a2=a3+a4.

Passo 3

Da igualdade a0+a2=a3+a4 isolamos a0:
a0=a3+a4-a2
Definimos parâmetros livres
s=a2, t=a3, u=a4
Substituindo em p(x) obtemos
p(x)=(t+u - s)+s,x^2+t,x^3+u,x^4 =s(-1+x^2)+t(1+x^3)+u(1+x^4)

Passo 4

Como s,t,u são independentes, vemos que
W1=spanl-1+x^2,;1+x^3,;1+x^4r
Esses três vetores geram W1 e são linearmente independentes.

Resposta

Uma base (geradores) de W1 é
-1+x^2,;1+x^3,;1+x^4

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