Encontre os geradores para os seguintes subespaços:
(G) (0.5 pts) W2=(x, y, z, t) in R^4 mid x+2 y-2 z=0 e y-2 z+t=0.

Passo 1

O enunciado pede os geradores de
W2=(x,y,z,t)inR^4mid x+2y-2z=0 e y-2z+t=0
O conteúdo é resolver um sistema linear para representar genericamente um vetor de W2 em função de parâmetros livres.

Passo 2

Escrevemos as equações que definem W2:
x+2y-2z=0
y-2z+t=0
Perceba que temos duas equações em quatro variáveis, então esperamos dois graus de liberdade.

Passo 3

Escolhemos y e z como parâmetros livres, digamos y=s e z=u.
Da primeira equação vem
x=-2y+2z=-2s+2u,
e da segunda
t=-,y+2z=-s+2u
Logo um vetor genérico de W2 é
(x,y,z,t)=(-2s+2u,;s,;u,;-s+2u) =s,(-2,1,0,-1)+u,(2,0,1,2)

Passo 4

Dessa forma os vetores
v1=(-2,1,0,-1) e v2=(2,0,1,2)
geram W2.

Resposta

Uma base (conjunto de geradores) de W2 é
(-2,1,0,-1),;(2,0,1,2)

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