C, Re(z)>0 é qualquer contorno no semiplano direito .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função analítica f(z)=1z+1z^2 ao longo de qualquer contorno C que liga z1=1 - i a z2=1 + iraiz3 no semiplano direito Re(z)>0. O conteúdo principal envolve achar uma primitiva de f(z) e usar o teorema fundamental das integrais de linha em domínio simplesmente conexo onde f é holomorfa.

Passo 2

A função f(z)=1z+1z^2 é holomorfa em z:Re(z)>0 porque suas singularidades em z=0 não pertencem a esse semiplano. Logo, a integral entre dois pontos depende apenas dos valores de uma primitiva F(z) nesses pontos.

Passo 3

Para encontrar a primitiva, integramos termo a termo: integrando 1/z obtemos log(z) (ramificação principal válida em Re(z)>0) e integrando 1/z^2 obtemos -1/z. Assim
F(z)=log(z)-1z+constante

Passo 4

Pela propriedade da primitiva temos
integral1-i^1+raiz3 il(1z+1z^2r)dz=F(1+iraiz3)-F(1-i)

Passo 5

Agora calculamos cada termo. Primeiro a diferença de logaritmos:
log(1+iraiz3)-log(1-i)=logl(1+iraiz31-ir)

Passo 6

Note que
1+iraiz3=2e^ipi/3,1-i=raiz2,e^-ipi/4, portanto
1+iraiz31-i=2raiz2,e^i(pi/3+pi/4)=raiz2,e^i7pi/12, e assim
logl(1+iraiz31-ir)=tfrac12ln2+itfrac7pi12

Passo 7

Em seguida calculamos
11+iraiz3=1-iraiz34,11-i=1+i2 Logo
-11+iraiz3+11-i=-1-iraiz34+1+i2=14+ iraiz3+24

Passo 8

Somando as contribuições real e imaginária, obtemos o valor final da integral.

Resposta

Exercícios relacionados