Resolva cada uma das integrais a seguir
integral cos ^6 x2 sin x2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cos^6tfracx2,sintfracx2,dx. Esse é um caso clássico de integração por substituição em funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos usar a substituição u=costfracx2. Então diferenciando, temos du=-tfrac12sintfracx2,dx, o que nos dá sintfracx2,dx=-2,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral cos^6tfracx2,sintfracx2,dx = integral u^6cdot(-2),du = -2integral u^6,du

Passo 4

Agora basta integrar em u:
-2integral u^6,du = -2cdotu^77 + C = -27u^7 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original usando u=costfracx2. Logo a solução é
-27cos^7tfracx2 + C

Resposta

-\frac{2}{7}\cos^7\tfrac{x}{2} + C

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