Resolva cada uma das integrais a seguir
integral sin ^2 2 t cos ^4 2 t d t

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral integral sin^2(2t),cos^4(2t),dt. A matéria envolvida é integração de potências de funções trigonométricas, e vamos usar identidades de redução de potência para transformar o integrando em soma de cossenos.

Passo 2

Aplicamos as identidades de redução de potência:
sin^2(2t) = 1 - cos(4t)2
cos^4(2t) = 18l(3 + 4cos(4t) + cos(8t)r)
Multiplicando-as, obtemos:
sin^2(2t)cos^4(2t) = 116,(1 - cos(4t)),(3 + 4cos(4t) + cos(8t))

Passo 3

Expandimos o produto e simplificamos usando a identidade de produto de cossenos cos Acos B = tfrac12[cos(A-B)+cos(A+B)]:
(1 - cos4t)(3 + 4cos4t + cos8t) = 1 + cos4t - cos8t - cos4tcos8t = 1 + cos4t - cos8t - tfrac12(cos4t + cos12t) = 1 + tfrac12cos4t - cos8t - tfrac12cos12t
Logo:
sin^2(2t)cos^4(2t) = 116 + 132cos4t - 116cos8t - 132cos12t

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral sin^2(2t)cos^4(2t),dt = integral l(116 + 132cos4t - 116cos8t - 132cos12tr)dt
= t16 + 132cdotsin4t4 - 116cdotsin8t8 - 132cdotsin12t12 + C

Passo 5

Simplificando os coeficientes, chegamos à antiderivada:
t16 + sin4t128 - sin8t128 - sin12t384 + C

Resposta

t16 + sin4t128 - sin8t128 - sin12t384 + C

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