Mostre que para
inteiro positivo ímpar tem-se a forma geral
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, quando n é ímpar positivo (ou seja n=2k+1), as integrais de
e de
têm formas fechadas envolvendo somatórios. Vamos usar substituições usuais e a expansão binomial.
Passo 2
Começamos com
. Note que
. Fazendo a substituição
, temos
, logo
Passo 3
Para expandir
, aplicamos o teorema binomial:
Passo 4
Substituindo na integral e integrando termo a termo,
Passo 5
Voltando a
e ajeitando o sinal, obtemos
Passo 6
Agora, para
é análogo: escrevemos
, fazemos
,
, e obtemos
Resposta
Para n=2k+1 ímpar, temos