Mostre que para n inteiro positivo ímpar tem-se a forma geral
& integral sin ^n x d x=sumr=0^k k!(k-r)!r! (-1)^r+12 r+1 cos ^2 r+1 x+C & integral cos ^n x d x=sumr=0^k k!(k-r)!r! (-1)^r2 r+1 sin ^2 r+1 x+C

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando n é ímpar positivo (ou seja n=2k+1), as integrais de sin^n x e de cos^n x têm formas fechadas envolvendo somatórios. Vamos usar substituições usuais e a expansão binomial.

Passo 2

Começamos com integralsin^2k+1x,dx. Note que sin^2k+1x=sin^2kxsin x=(1-cos^2x)^ksin x. Fazendo a substituição u=cos x, temos du=-sin x,dx, logo
integralsin^2k+1x,dx= -integral(1-u^2)^k,du

Passo 3

Para expandir (1-u^2)^k, aplicamos o teorema binomial:
(1-u^2)^k=sumr=0^kbinomkr(-1)^r u^2r

Passo 4

Substituindo na integral e integrando termo a termo,
-integral(1-u^2)^k,du = -sumr=0^kbinomkr(-1)^rintegral u^2r,du = -sumr=0^kbinomkr(-1)^r u^2r+12r+1 +C

Passo 5

Voltando a u=cos x e ajeitando o sinal, obtemos
integralsin^2k+1x,dx = sumr=0^k binomkr(-1)^r+12r+1,cos^2r+1x +C,

Passo 6

Agora, para integralcos^2k+1x,dx é análogo: escrevemos cos^2k+1x=(1-sin^2x)^kcos x, fazemos u=sin x, du=cos x,dx, e obtemos
integralcos^2k+1x,dx=sumr=0^kbinomkr(-1)^r2r+1,sin^2r+1x +C

Resposta

Para n=2k+1 ímpar, temos
integralsin^n x,dx=sumr=0^kk!(k-r)!,r!,(-1)^r+12r+1,cos^2r+1x+C,
integralcos^n x,dx=sumr=0^kk!(k-r)!,r!,(-1)^r2r+1,sin^2r+1x+C

Exercícios relacionados