Use o teste da razão para tentar decidir sobre a convergência de:
sumn=1^infty 4^n n^3n! (converge)

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty4^nn^3n!
e pede para aplicar o teste da razão, cujo conteúdo é calcular
L=limntoinftyl|an+1anr|
e verificar se L<1 (convergência absoluta), L>1 (divergência) ou L=1 (inconclusivo).

Passo 2

Definimos o termo geral
an=4^nn^3n!,
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an+1=4^n+1(n+1)^3(n+1)!

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an =4^n+1(n+1)^3/(n+1)!4^nn^3/n! =4;(n+1)^3(n+1),n^3 =4;(n+1)^2n^3 =4l(n^2+2n+1n^3r)

Passo 4

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
L =limntoinfty4l(n^2+2n+1n^3r) =4limntoinftyl(1n+2n^2+1n^3r) =0
Como L=0<1, pelo teste da razão a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série sumn=1^infty4^nn^3n! converge.

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