Uma mola com uma massa de 8 kg presa a ela é mantida esticada 0,4 m além de seu comprimento natural por uma força de 32 N . A mola começa em sua posição de equilíbrio com velocidade inicial de 1 m / s. Localize a posição da massa em qualquer momento t.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema massa-mola sem amortecimento: uma massa de 8,kg presa a uma mola é desviada 0,4, m de seu comprimento natural por uma força de 32, N, depois solta-se a mola na posição de equilíbrio com velocidade inicial de 1,m/s. O conteúdo necessário é a equação diferencial do movimento harmônico simples e a Lei de Hooke.

Passo 2

Pela Lei de Hooke temos
F = k,x
onde F=32, N e x=0,4, m. Logo
k = Fx = 320,4 = 80;N/m

Passo 3

A equação de Newton para este sistema sem amortecimento é
m,x'' + k,x = 0
Substituindo m=8 e k=80 obtemos
8,x'' + 80,x = 0 Longrightarrow x'' + 10,x = 0

Passo 4

A equação
x'' + 10,x = 0
é homogênea com solução geral
x(t) = Acosl(raiz10,tr) + Bsinl(raiz10,tr),
onde raiz10 é a frequência angular omega.

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
x(0)=0 Longrightarrow A = 0,
x'(t) = -A,raiz10,sin(raiz10,t) + B,raiz10,cos(raiz10,t),
então
x'(0)=1 Longrightarrow B,raiz10 = 1 Longrightarrow B = 1raiz10

Passo 6

Substituindo A=0 e B=1/raiz10 na solução geral, chegamos a
x(t) = 1raiz10;sinl(raiz10,tr)

Resposta

x(t) = 1raiz10;sin!l(raiz10,tr)(m)

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