Uma mola tem comprimento natural 0,75 m e 5 kg de massa. Uma força de 25 N é necessária para manter a mola esticada até um comprimento de 1 m . Se a mola for esticada para um comprimento de 1,1 m e então solta com velocidade 0 , encontre a posição da massa após t segundos.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma mola com comprimento natural de 0,75 metros e uma massa de 5 kg. Sabemos que é necessária uma força de 25 N para esticar a mola até 1 metro. Se esticarmos a mola até 1,1 metros e soltarmos sem velocidade inicial, queremos encontrar a posição da massa após t segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física sobre o movimento harmônico simples e a Lei de Hooke.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a constante elástica da mola ( k ) usando a Lei de Hooke, que diz que a força exercida por uma mola é proporcional à sua deformação:
F = k cdot De<a x
Onde:
  • F é a força aplicada,
  • k é a constante elástica,
  • De<a x é a deformação da mola.
A deformação ( De<a x ) é a diferença entre o comprimento esticado e o comprimento natural da mola:
De<a x = 1, m - 0,75, m = 0,25, m
Agora, aplicamos a força de 25 N para encontrar k :
25, N = k cdot 0,25, m
k = 25, N0,25, m = 100, N/m

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar a posição de equilíbrio ( xe ), que é a posição onde a força da mola equilibra o peso da massa. A força peso é dada por:
Fp = m cdot g
Onde:
  • m = 5, kg ,
  • g = 9,8, m/s^2 .
Fp = 5, kg cdot 9,8, m/s^2 = 49, N
Na posição de equilíbrio, Fp = k cdot xe :
49, N = 100, N/m cdot xe
xe = 49, N100, N/m = 0,49, m
Então, o comprimento total da mola na posição de equilíbrio é:
Le = Lnatural + xe = 0,75, m + 0,49, m = 1,24, m

Passo 4

Agora, a mola foi esticada até 1,1 metros e liberada. Precisamos determinar a amplitude do movimento ( A ). A amplitude é a máxima deslocação a partir da posição de equilíbrio:
A = Lesticada - Le = 1,1, m - 1,24, m = -0,14, m
O sinal negativo indica que a massa começa a se mover na direção oposta ao alongamento inicial.

Passo 5

Para determinar a posição da massa após t segundos, usamos a equação do movimento harmônico simples:
x(t) = A cdot cos(omega t) + xe
Onde:
  • omega é a frequência angular, dada por omega = raizkm .
Calculando omega :
omega = raiz100, N/m5, kg = raiz20 approx 4,47, rad/s

Passo 6

Agora, substituímos os valores na equação de x(t) :
x(t) = -0,14, m cdot cos(4,47, t) + 1,24, m

Resposta

A posição da massa após t segundos é dada por:
x(t) = 1,24, m - 0,14, m cdot cos(4,47, t)

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