(d) Seja o campo vetorial
\mathbf{F}(x, y, z)=(y z, x z, x y)
e seja C a curva parametrizada por
\mathbf{r}(t)=\left(t, t^{2}, 1\right), \quad 0 \leq t \leq 1 .
Calcule
\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} .

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=(y z,\, x z,\, x y).
  • A curva C é dada pela parametrização \mathbf{r}(t)=\big(t,\,t^{2},\,1\big), com 0\le t\le1.
O que se pede:
  • Calcular \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Informações úteis retiradas do enunciado:
  • O ponto inicial da curva é \mathbf{r}(0)=(0,0,1).
  • O ponto final da curva é \mathbf{r}(1)=(1,1,1).
  • Ao longo de C vale z=1 (constante).

Passo 2

Definição e fórmula prática. Para uma curva orientada C parametrizada por \mathbf{r}(t), a\le t\le b, o integral de linha do campo \mathbf{F} ao longo de C é calculado por
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.
O que isso significa:
  • \mathbf{r}'(t) é a velocidade da curva (derivada componente a componente).
  • \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big) é o campo avaliado nos pontos da curva.
  • O produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) dá a taxa instantânea de trabalho feito pelo campo ao mover um ponto ao longo da curva; integrar dá o trabalho total.
Vou aplicar essa fórmula diretamente (método direto, passo a passo).

Passo 3

Calcular \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente,
\mathbf{r}(t)=\big(t,\,t^{2},\,1\big)\quad\Rightarrow\quad \mathbf{r}'(t)=\big(1,\,2t,\,0\big).

Passo 4

Avaliar \mathbf{F} ao longo da curva: substituir x=t, y=t^{2}, z=1 em \mathbf{F}(x,y,z).
\mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big)=\big(y z,\,x z,\,x y\big)\Big|_{(t,t^{2},1)} =\big(t^{2}\cdot1,\;t\cdot1,\;t\cdot t^{2}\big) =\big(t^{2},\,t,\,t^{3}\big).

Passo 5

Fazer o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t):
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =(t^{2},\,t,\,t^{3})\cdot(1,\,2t,\,0) = t^{2}\cdot1 + t\cdot(2t) + t^{3}\cdot0 = t^{2} + 2t^{2} = 3t^{2}.

Passo 6

Integrar em t de 0 a 1:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1}3t^{2}\,dt =3\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\big[t^{3}\big]_{0}^{1}=1-0=1.

Passo 7

(Mini-aula extra — método alternativo e interpretação.) Observação: se alguém preferir reconhecer propriedades do campo, note que existe uma função potencial \varphi(x,y,z)=x y z cuja derivada parcial gera \mathbf{F}:
\nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y,\phi_z)=(y z,\,x z,\,x y)=\mathbf{F}.
Como o domínio é todo \mathbb{R}^{3} (simplesmente conexo) e \mathbf{F}=\nabla\varphi, o campo é conservativo e vale o Teorema Fundamental para integrais de linha:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\varphi\big(\mathbf{r}(1)\big)-\varphi\big(\mathbf{r}(0)\big).
Calculando:
\varphi\big(\mathbf{r}(1)\big)=\varphi(1,1,1)=1,\qquad \varphi\big(\mathbf{r}(0)\big)=\varphi(0,0,1)=0,
logo a diferença é 1. Esse resultado coincide com o cálculo direto acima — ótima checagem!

Passo 8

Resumo rápido e incentivo: fizemos passo a passo pelo método direto (parametrizando, calculando \mathbf{r}', avaliando \mathbf{F} na curva, fazendo o produto escalar e integrando) e também vimos o jeito mais rápido quando o campo é gradiente de uma função (usar a função potencial). Ambos dão a mesma resposta final.

Resposta

1

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