Definição e fórmula prática. Para uma curva orientada C parametrizada por \mathbf{r}(t), a\le t\le b, o integral de linha do campo \mathbf{F} ao longo de C é calculado por
\mathbf{r}'(t) é a velocidade da curva (derivada componente a componente).
\mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big) é o campo avaliado nos pontos da curva.
O produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) dá a taxa instantânea de trabalho feito pelo campo ao mover um ponto ao longo da curva; integrar dá o trabalho total.
Vou aplicar essa fórmula diretamente (método direto, passo a passo).
Passo 3
Calcular \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente,
(Mini-aula extra — método alternativo e interpretação.) Observação: se alguém preferir reconhecer propriedades do campo, note que existe uma função potencial \varphi(x,y,z)=x y z cuja derivada parcial gera \mathbf{F}:
Como o domínio é todo \mathbb{R}^{3} (simplesmente conexo) e \mathbf{F}=\nabla\varphi, o campo é conservativo e vale o Teorema Fundamental para integrais de linha:
logo a diferença é 1. Esse resultado coincide com o cálculo direto acima — ótima checagem!
Passo 8
Resumo rápido e incentivo: fizemos passo a passo pelo método direto (parametrizando, calculando \mathbf{r}', avaliando \mathbf{F} na curva, fazendo o produto escalar e integrando) e também vimos o jeito mais rápido quando o campo é gradiente de uma função (usar a função potencial). Ambos dão a mesma resposta final.