(c) Usando as soluções das
-ésimas raízes da unidade ou seja
. Se
, prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando as raízes
-ésimas da unidade, que para
valem
O conteúdo principal é usar a propriedade de que a soma de todas as raízes
-ésimas da unidade é zero.
Passo 2
Considere a soma de todas as raízes
-ésimas da unidade
Sabemos do álgebra dos polinômios que estas raízes são as raízes de
, e portanto
Passo 3
Separe o termo
de
. Como
, temos
Passo 4
Escrevendo cada exponencial em termos de cosseno e seno,
Igualando parte real e parte imaginária, obtemos as duas identidades desejadas.