(c) Usando as soluções das n-ésimas raízes da unidade ou seja z^n=1. Se n=2,3, ldots, prove que
& cos 2 pin+cos 4 pin+cdots+cos 2(n-1) pin=-1 & sen 2 pin+sen 4 pin+cdots+sen 2(n-1) pin=0

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando as raízes n-ésimas da unidade, que para n=2,3,dots valem
cos2pin+cos4pin+cdots+cos2(n-1)pin=-1,
sen2pin+sen4pin+cdots+sen2(n-1)pin=0
O conteúdo principal é usar a propriedade de que a soma de todas as raízes n-ésimas da unidade é zero.

Passo 2

Considere a soma de todas as raízes n-ésimas da unidade
S=sumk=0^n-1e^2pi i k/n
Sabemos do álgebra dos polinômios que estas raízes são as raízes de z^n-1=0, e portanto
S=0

Passo 3

Separe o termo k=0 de S. Como e^2pi icdot0/n=1, temos
0=S=1+sumk=1^n-1e^2pi i k/n Longrightarrow sumk=1^n-1e^2pi i k/n=-1

Passo 4

Escrevendo cada exponencial em termos de cosseno e seno,
sumk=1^n-1e^2pi i k/n =sumk=1^n-1l(cos2pi kn+isen2pi knr) =-1+0,i
Igualando parte real e parte imaginária, obtemos as duas identidades desejadas.

Resposta

cos2pin+cos4pin+cdots+cos2(n-1)pin=-1,
sen2pin+sen4pin+cdots+sen2(n-1)pin=0

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