Sendo
uma das quatro raízes complexas de um número
, determinar as quatro raízes complexas de
. Represente geometricamente essas raízes.
Passo 1
O enunciado nos dá uma das quatro raízes quádruplas de um número
, sendo
Queremos achar todas as quatro raízes de
e representar geometricamente esses pontos. O conteúdo é números complexos em forma trigonométrica/exponencial e uso do Teorema de De Moivre.
Passo 2
Primeiro encontramos
elevando
à quarta potência. Para isso escrevemos
em forma exponencial:
Logo
e
Passo 3
As raízes quádruplas de
são dadas pela fórmula
Como
e
, temos
Passo 4
Listando as quatro raízes:
Em forma algébrica, usando
e
:
Passo 5
Geometricamente, esses pontos estão igualmente espaçados no círculo unitário, correspondendo aos vértices de um quadrado inscrito. Eles formam ângulos
medidos a partir do eixo real positivo.
Resposta
Essas raízes são os vértices de um quadrado inscrito no círculo unitário nos ângulos
.