Sendo z1=raiz22(1+i) uma das quatro raízes complexas de um número z, determinar as quatro raízes complexas de z. Represente geometricamente essas raízes.

Passo 1

O enunciado nos dá uma das quatro raízes quádruplas de um número z, sendo
z1 = raiz22,(1+i)
Queremos achar todas as quatro raízes de z e representar geometricamente esses pontos. O conteúdo é números complexos em forma trigonométrica/exponencial e uso do Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro encontramos z elevando z1 à quarta potência. Para isso escrevemos z1 em forma exponencial:
|z1| = raizl(tfracraiz22r)^2 + l(tfracraiz22r)^2 = 1,
arg(z1) = pi4
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z1 = e^ipi/4
e
z = (z1)^4 = l(e^ipi/4r)^4 = e^ipi = -1

Passo 3

As raízes quádruplas de z são dadas pela fórmula
wk = raiz[4]|z|;exp!l[iarg(z)+2pi k4r], k=0,1,2,3
Como |z|=1 e arg(z)=pi, temos
wk = e^,ipi+2pi k4 = e^,il(tfracpi4 + tfracpi k2r)

Passo 4

Listando as quatro raízes:
w0 = e^ipi/4, w1 = e^i3pi/4, w2 = e^i5pi/4, w3 = e^i7pi/4
Em forma algébrica, usando costheta = pmtfracraiz22 e sintheta = pmtfracraiz22:
w0 = tfracraiz22(1+i), w1 = tfracraiz22(-1+i), w2 = tfracraiz22(-1-i), w3 = tfracraiz22(1-i)

Passo 5

Geometricamente, esses pontos estão igualmente espaçados no círculo unitário, correspondendo aos vértices de um quadrado inscrito. Eles formam ângulos tfracpi4,tfrac3pi4,tfrac5pi4,tfrac7pi4 medidos a partir do eixo real positivo.

Resposta

w0 = raiz22(1+i), w1 = raiz22(-1+i), w2 = raiz22(-1-i), w3 = raiz22(1-i)
Essas raízes são os vértices de um quadrado inscrito no círculo unitário nos ângulos pi/4,3pi/4,5pi/4,7pi/4.

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