Seja alpha:(-1,+infty) longrightarrow R^2 dada por
alpha(t)=(3 a t1+t^3, 3 a t^21+t^3)
Quando t longrightarrow+infty, alpha(t) longrightarrow(0,0) e alpha^prime(t) longrightarrow(0,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
alpha:(-1,+infty)toR^2
alpha(t)=l(3a,t1+t^3,;3a,t^21+t^3r),
e informa que, quando tto+infty, temos alpha(t)to(0,0) e alpha'(t)to(0,0). O que vamos fazer é verificar se o ponto p=(0,0) é de acumulação e, em caso afirmativo, encontrar a reta tangente a essa curva em p usando a definição por limite de secantes.

Passo 2

Primeiro, p=(0,0) é ponto de acumulação da curva porque
limtto+inftyalpha(t) =limtto+inftyl(3a,t1+t^3,3a,t^21+t^3r) =(0,0)
Ou seja, existem valores de t arbitrariamente grandes que aproximam alpha(t) de (0,0).

Passo 3

A reta tangente em um ponto de acumulação p pode ser definida pela direção
v=limtto+inftyalpha(t)-p|alpha(t)-p|,
se esse limite existir e for um vetor unitário. Então, a reta tangente é p+s,v, sinR.

Passo 4

Vamos calcular o vetor unitário das secantes:
alpha(t)-p|alpha(t)-p| =l(3a,t1+t^3,,3a,t^21+t^3r) raizl(tfrac3a,t1+t^3r)^2+l(tfrac3a,t^21+t^3r)^2 =(t,t^2)traiz1+t^2 =l(tfrac1raiz1+t^2,,tfractraiz1+t^2r)
Fazendo tto+infty, obtemos
limtto+inftyl(tfrac1raiz1+t^2,,tfractraiz1+t^2r) =(0,1)
Logo, o vetor direção da reta tangente em (0,0) é v=(0,1).

Passo 5

Com p=(0,0) e direção v=(0,1), a reta tangente é dada por
(x,y)=(0,0)+s,(0,1)Longrightarrow x=0,;y=s

Resposta

A reta tangente a alpha no ponto de acumulação (0,0) é a reta vertical de equação
x=0

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