(c) Use o item (b) para encontrar uma série de potências para
e seu raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências de
usando o resultado do item (b), que nos fornece a série de potências para
. O conteúdo é a aplicação da série binomial generalizada e, como sempre que expandimos
, o raio de convergência será dado por
.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula da série binomial para
: para
,
onde
Logo,
Passo 3
Multiplicamos por
para obter
:
Passo 4
Reindexando a soma para ficar na forma
, façamos
. Então quando
temos
e
. Assim
Passo 5
O raio de convergência desta série é o mesmo de
, isto é,