(c) Use o item (b) para encontrar uma série de potências para f(x)=x^2(1+x)^3 e seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de
f(x)=x^2(1+x)^3
usando o resultado do item (b), que nos fornece a série de potências para (1+x)^-3. O conteúdo é a aplicação da série binomial generalizada e, como sempre que expandimos (1+x)^alpha, o raio de convergência será dado por |x|<1.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula da série binomial para alpha=-3: para |x|<1,
(1+x)^-3 ;=;sumn=0^inftybinom-3nx^n,
onde
binom-3n =(-3)(-4)cdots(-3-n+1)n! =(-1)^n(n+2)(n+1)2
Logo,
1(1+x)^3 =sumn=0^infty(-1)^n,(n+2)(n+1)2;x^n

Passo 3

Multiplicamos por x^2 para obter f(x):
f(x)=x^2,1(1+x)^3 =sumn=0^infty(-1)^n,(n+2)(n+1)2;x^n+2

Passo 4

Reindexando a soma para ficar na forma summ=0^infty amx^m, façamos m=n+2. Então quando n=0 temos m=2 e n=m-2. Assim
f(x) =summ=2^infty(-1)^m-2,m(m-1)2;x^m

Passo 5

O raio de convergência desta série é o mesmo de (1+x)^-3, isto é,
R=1

Resposta

x^2(1+x)^3 =summ=2^infty(-1)^m-2,m(m-1)2;x^m, R=1

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