Prove que:
(a) Dx(e^x)=e^x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a derivada da função exponencial e^x é ela mesma. O conteúdo que vamos usar é a definição de derivada como limite do quociente incremental:
Dxl(e^xr)=limhto0e^x+h-e^xh

Passo 2

Começamos aplicando a definição de derivada:
Dxl(e^xr) =limhto0e^x+h-e^xh =limhto0e^xl(e^h-1r)h
Aqui usamos a propriedade e^x+h=e^x,e^h, o que nos permite fatorar e^x para fora do quociente.

Passo 3

Agora o limite se separa:
Dxl(e^xr) =e^x;limhto0e^h-1h
Para avaliar limhto0e^h-1h, usamos a série de Taylor de e^h em torno de h=0:
e^h = 1 + h + tfrach^22! + cdots
Subtraindo 1 e dividindo por h temos
e^h-1h =1 + tfrach2! + cdots
e, ao fazer hto0, o limite vale 1.

Resposta

Dxl(e^xr)=e^xcdot1=e^x

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